Theorem snsssn 4198

Description: If a singleton is a subset of another, their members are equal. (Contributed by NM, 28-May-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sneqr.1

Assertion

Ref	Expression
snsssn

Proof of Theorem snsssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssn 4188	. 2
2		sneqr.1	. . . . . 6
3	2	snnz 4148	. . . . 5
4	3	neii 2656	. . . 4
5	4	pm2.21i 131	. . 3
6	2	sneqr 4197	. . 3
7	5, 6	jaoi 379	. 2
8	1, 7	sylbi 195	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-v 3111  df-dif 3478  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-sn 4030