Theorem soex 6743

Description: If the relation in a strict order is a set, then the base field is also a set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
soex

Proof of Theorem soex

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . 3
2		0ex 4582	. . 3
3	1, 2	syl6eqel 2553	. 2
4		n0 3794	. . 3
5		snex 4693	. . . . . . . . 9
6		dmexg 6731	. . . . . . . . . 10
7		rnexg 6732	. . . . . . . . . 10
8		unexg 6601	. . . . . . . . . 10
9	6, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
10		unexg 6601	. . . . . . . . 9
11	5, 9, 10	sylancr 663	. . . . . . . 8
12	11	ad2antlr 726	. . . . . . 7
13		sossfld 5459	. . . . . . . . 9
14	13	adantlr 714	. . . . . . . 8
15		ssundif 3911	. . . . . . . 8
16	14, 15	sylibr 212	. . . . . . 7
17	12, 16	ssexd 4599	. . . . . 6
18	17	ex 434	. . . . 5
19	18	exlimdv 1724	. . . 4
20	19	imp 429	. . 3
21	4, 20	sylan2b 475	. 2
22	3, 21	pm2.61dane 2775	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  Orwor 4804  domcdm 5004  rancrn 5005

This theorem is referenced by:  ween  8437  zorn2lem1  8897  zorn2lem4  8900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-po 4805  df-so 4806  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015