Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sofld Unicode version

Theorem sofld 5460
 Description: The base set of a nonempty strict order is the same as the field of the relation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sofld

Proof of Theorem sofld
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 5115 . . . . . . . . 9
2 relss 5095 . . . . . . . . 9
31, 2mpi 17 . . . . . . . 8
43ad2antlr 726 . . . . . . 7
5 df-br 4453 . . . . . . . . . 10
6 ssun1 3666 . . . . . . . . . . . . 13
7 undif1 3903 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7sseqtr4i 3536 . . . . . . . . . . . 12
9 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14
10 dmss 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11 dmxpid 5227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1210, 11syl6sseq 3549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
143ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 releldm 5240 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1614, 15sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
1713, 16sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . 14
18 sossfld 5459 . . . . . . . . . . . . . 14
199, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
20 ssun1 3666 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120, 16sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . 14
2221snssd 4175 . . . . . . . . . . . . 13
2319, 22unssd 3679 . . . . . . . . . . . 12
248, 23syl5ss 3514 . . . . . . . . . . 11
2524ex 434 . . . . . . . . . 10
265, 25syl5bir 218 . . . . . . . . 9
2726con3dimp 441 . . . . . . . 8
2827pm2.21d 106 . . . . . . 7
294, 28relssdv 5100 . . . . . 6
30 ss0 3816 . . . . . 6
3129, 30syl 16 . . . . 5
3231ex 434 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  Orwor 4804  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015