Theorem sofld 5460

Description: The base set of a nonempty strict order is the same as the field of the relation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sofld

Proof of Theorem sofld

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5115	. . . . . . . . 9
2		relss 5095	. . . . . . . . 9
3	1, 2	mpi 17	. . . . . . . 8
4	3	ad2antlr 726	. . . . . . 7
5		df-br 4453	. . . . . . . . . 10
6		ssun1 3666	. . . . . . . . . . . . 13
7		undif1 3903	. . . . . . . . . . . . 13
8	6, 7	sseqtr4i 3536	. . . . . . . . . . . 12
9		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14
10		dmss 5207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
11		dmxpid 5227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12	10, 11	syl6sseq 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16
13	12	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
14	3	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15		releldm 5240	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16	14, 15	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	13, 16	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . 14
18		sossfld 5459	. . . . . . . . . . . . . 14
19	9, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
20		ssun1 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	20, 16	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	snssd 4175	. . . . . . . . . . . . 13
23	19, 22	unssd 3679	. . . . . . . . . . . 12
24	8, 23	syl5ss 3514	. . . . . . . . . . 11
25	24	ex 434	. . . . . . . . . 10
26	5, 25	syl5bir 218	. . . . . . . . 9
27	26	con3dimp 441	. . . . . . . 8
28	27	pm2.21d 106	. . . . . . 7
29	4, 28	relssdv 5100	. . . . . 6
30		ss0 3816	. . . . . 6
31	29, 30	syl 16	. . . . 5
32	31	ex 434	. . . 4
33	32	necon1ad 2673	. . 3
34	33	3impia 1193	. 2
35		rnss 5236	. . . . 5
36		rnxpid 5445	. . . . 5
37	35, 36	syl6sseq 3549	. . . 4
38	12, 37	unssd 3679	. . 3
39	38	3ad2ant2 1018	. 2
40	34, 39	eqssd 3520	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  Orwor 4804  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015