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Theorem soisoi 6096
Description: Infer isomorphism from one direction of an order proof for isomorphisms between strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
soisoi
Distinct variable groups:   , ,   ,S,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem soisoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 734 . . . . 5
2 fof 5700 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 simpll 732 . . . . . . . 8
5 sotrieq 4571 . . . . . . . . 9
65con2bid 321 . . . . . . . 8
74, 6sylan 459 . . . . . . 7
8 simprr 735 . . . . . . . . . 10
9 breq1 4246 . . . . . . . . . . . . 13
10 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . 14
1110breq1d 4253 . . . . . . . . . . . . 13
129, 11imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
13 breq2 4247 . . . . . . . . . . . . 13
14 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . 14
1514breq2d 4255 . . . . . . . . . . . . 13
1613, 15imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
1712, 16rspc2va 3068 . . . . . . . . . . 11
1817ancoms 441 . . . . . . . . . 10
198, 18sylan 459 . . . . . . . . 9
20 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11
21 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . 13
2221, 2syl 16 . . . . . . . . . . . 12
23 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23ffvelrnd 5919 . . . . . . . . . . 11
25 poirr 4555 . . . . . . . . . . . 12
26 breq1 4246 . . . . . . . . . . . . 13
2726notbid 287 . . . . . . . . . . . 12
2825, 27syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11
2920, 24, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
3029con2d 110 . . . . . . . . 9
3119, 30syld 43 . . . . . . . 8
32 breq1 4246 . . . . . . . . . . . . . 14
33 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433breq1d 4253 . . . . . . . . . . . . . 14
3532, 34imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13
36 breq2 4247 . . . . . . . . . . . . . 14
37 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837breq2d 4255 . . . . . . . . . . . . . 14
3936, 38imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13
4035, 39rspc2va 3068 . . . . . . . . . . . 12
4140ancoms 441 . . . . . . . . . . 11
4241ancom2s 779 . . . . . . . . . 10
438, 42sylan 459 . . . . . . . . 9
44 breq2 4247 . . . . . . . . . . . . 13
4544notbid 287 . . . . . . . . . . . 12
4625, 45syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11
4720, 24, 46syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
4847con2d 110 . . . . . . . . 9
4943, 48syld 43 . . . . . . . 8
5031, 49jaod 371 . . . . . . 7
517, 50sylbird 228 . . . . . 6
5251con4d 100 . . . . 5
5352ralrimivva 2805 . . . 4
54 dff13 6052 . . . 4
553, 53, 54sylanbrc 647 . . 3
56 df-f1o 5508 . . 3
5755, 1, 56sylanbrc 647 . 2
58 sotric 4570 . . . . . . 7
5958con2bid 321 . . . . . 6
604, 59sylan 459 . . . . 5
61 fveq2 5775 . . . . . . . . . 10
6261breq1d 4253 . . . . . . . . 9
6362notbid 287 . . . . . . . 8
6425, 63syl5ibrcom 215 . . . . . . 7
6520, 24, 64syl2anc 644 . . . . . 6
66 simprl 734 . . . . . . . . 9
6722, 66ffvelrnd 5919 . . . . . . . 8
68 po2nr 4557 . . . . . . . . 9
69 imnan 413 . . . . . . . . 9
7068, 69sylibr 205 . . . . . . . 8
7120, 24, 67, 70syl12anc 1183 . . . . . . 7
7243, 71syld 43 . . . . . 6
7365, 72jaod 371 . . . . 5
7460, 73sylbird 228 . . . 4
7519, 74impcon4bid 198 . . 3
7675ralrimivva 2805 . 2
77 df-isom 5510 . 2
7857, 76, 77sylanbrc 647 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712   class class class wbr 4243  Powpo 4542  Orwor 4543  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  -onto->wfo 5499  -1-1-onto->wf1o 5500  `cfv 5501  Isomwiso 5502
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7543  cantnf  7698  fin23lem27  8259  iccpnfhmeo  19021  xrhmeo  19022  logccv  20605  xrge0iifiso  24370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pr 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-isom 5510
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