Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sorpsscmpl Unicode version

Theorem sorpsscmpl 6591
 Description: The componentwise complement of a chain of sets is also a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpsscmpl
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem sorpsscmpl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3615 . . . . . . 7
21eleq1d 2526 . . . . . 6
32elrab 3257 . . . . 5
4 difeq2 3615 . . . . . . 7
54eleq1d 2526 . . . . . 6
65elrab 3257 . . . . 5
7 an4 824 . . . . . 6
87biimpi 194 . . . . 5
93, 6, 8syl2anb 479 . . . 4
10 sorpssi 6586 . . . . . . . 8
1110expcom 435 . . . . . . 7
12 selpw 4019 . . . . . . . . . . 11
13 dfss4 3731 . . . . . . . . . . 11
1412, 13bitri 249 . . . . . . . . . 10
15 selpw 4019 . . . . . . . . . . 11
16 dfss4 3731 . . . . . . . . . . 11
1715, 16bitri 249 . . . . . . . . . 10
18 sscon 3637 . . . . . . . . . . . 12
19 sseq12 3526 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11
21 sscon 3637 . . . . . . . . . . . 12
22 sseq12 3526 . . . . . . . . . . . . 13
2322ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
2421, 23syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11
2520, 24orim12d 838 . . . . . . . . . 10
2614, 17, 25syl2anb 479 . . . . . . . . 9
2726com12 31 . . . . . . . 8
2827orcoms 389 . . . . . . 7
2911, 28syl6 33 . . . . . 6
3029com3l 81 . . . . 5
3130impd 431 . . . 4
329, 31syl5 32 . . 3
3332ralrimivv 2877 . 2
34 sorpss 6585 . 2
3533, 34sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  Orwor 4804   crpss 6579 This theorem is referenced by:  fin2i2  8719  isfin2-2  8720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-rpss 6580
 Copyright terms: Public domain W3C validator