Theorem sorpssint 6590

Description: In a chain of sets, a minimal element is the intersection of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sorpssint

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem sorpssint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intss1 4301	. . . . . 6
2	1	3ad2ant2 1018	. . . . 5
3		sorpssi 6586	. . . . . . . . . 10
4	3	anassrs 648	. . . . . . . . 9
5		ax-1 6	. . . . . . . . . 10
6		sspss 3602	. . . . . . . . . . 11
7		orel1 382	. . . . . . . . . . . 12
8		eqimss2 3556	. . . . . . . . . . . 12
9	7, 8	syl6com 35	. . . . . . . . . . 11
10	6, 9	sylbi 195	. . . . . . . . . 10
11	5, 10	jaoi 379	. . . . . . . . 9
12	4, 11	syl 16	. . . . . . . 8
13	12	ralimdva 2865	. . . . . . 7
14	13	3impia 1193	. . . . . 6
15		ssint 4302	. . . . . 6
16	14, 15	sylibr 212	. . . . 5
17	2, 16	eqssd 3520	. . . 4
18		simp2 997	. . . 4
19	17, 18	eqeltrd 2545	. . 3
20	19	rexlimdv3a 2951	. 2
21		intss1 4301	. . . . 5
22		ssnpss 3606	. . . . 5
23	21, 22	syl 16	. . . 4
24	23	rgen 2817	. . 3
25		psseq2 3591	. . . . . 6
26	25	notbid 294	. . . . 5
27	26	ralbidv 2896	. . . 4
28	27	rspcev 3210	. . 3
29	24, 28	mpan2 671	. 2
30	20, 29	impbid1 203	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476  |^|cint 4286  Orwor 4804  crpss 6579

This theorem is referenced by:  fin2i2  8719  isfin2-2  8720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-rpss 6580