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Theorem soxp 6913
Description: A lexicographical ordering of two strictly ordered classes. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
soxp.1
Assertion
Ref Expression
soxp
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,S,

Proof of Theorem soxp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sopo 4822 . . 3
2 sopo 4822 . . 3
3 soxp.1 . . . 4
43poxp 6912 . . 3
51, 2, 4syl2an 477 . 2
6 elxp 5021 . . . . 5
7 elxp 5021 . . . . 5
8 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1110anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
129, 11bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1412, 13anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
158, 14bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16 solin 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
17 3orass 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
18 df-or 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1917, 18bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2016, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
21 solin 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
22 3orass 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23 df-or 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2422, 23bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2521, 24sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2625orim2d 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2720, 26im2anan9 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
28 pm2.53 373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
29 orc 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3028, 29syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
32 orel1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3332orim2d 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3433anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
35 imor 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3635biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3736com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
38 equcomi 1793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3938anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4039olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4140ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4237, 41syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4329a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4442, 43jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4634, 45syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4731, 46jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4827, 47syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4948impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5015, 49syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51 df-3or 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 df-or 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5351, 52bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5450, 53sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5655ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6359, 61, 62syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6456, 57, 633orim123d 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6554, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665an4s 826 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867an4s 826 . . . . . . . . . . . . . 14
69 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7369, 70, 723orbi123d 1298 . . . . . . . . . . . . . . . 16
743xporderlem 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7775, 76opth 4726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
783xporderlem 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7974, 77, 783orbi123i 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8073, 79syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . 14
8268, 81syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13
8382com3r 79 . . . . . . . . . . . 12
8483imp 429 . . . . . . . . . . 11
8584an4s 826 . . . . . . . . . 10
8685expcom 435 . . . . . . . . 9
8786exlimivv 1723 . . . . . . . 8
8887com12 31 . . . . . . 7
8988exlimivv 1723 . . . . . 6
9089imp 429 . . . . 5
916, 7, 90syl2anb 479 . . . 4
9291com12 31 . . 3
9392ralrimivv 2877 . 2
94 df-so 4806 . 2
955, 93, 94sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  Powpo 4803  Orwor 4804  X.cxp 5002  `cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  wexp  6914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801
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