Theorem splval2 12733

Description: Value of a splice, assuming the input word has already been decomposed into its pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
splval2.a
splval2.b
splval2.c
splval2.r
splval2.s
splval2.f
splval2.t

Assertion

Ref	Expression
splval2

Proof of Theorem splval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splval2.s	. . . 4
2		splval2.a	. . . . . 6
3		splval2.b	. . . . . 6
4		ccatcl 12593	. . . . . 6
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . . 5
6		splval2.c	. . . . 5
7		ccatcl 12593	. . . . 5
8	5, 6, 7	syl2anc 661	. . . 4
9	1, 8	eqeltrd 2545	. . 3
10		splval2.f	. . . 4
11		lencl 12562	. . . . 5
12	2, 11	syl 16	. . . 4
13	10, 12	eqeltrd 2545	. . 3
14		splval2.t	. . . 4
15		lencl 12562	. . . . . 6
16	3, 15	syl 16	. . . . 5
17	13, 16	nn0addcld 10881	. . . 4
18	14, 17	eqeltrd 2545	. . 3
19		splval2.r	. . 3
20		splval 12727	. . 3
21	9, 13, 18, 19, 20	syl13anc 1230	. 2
22		nn0uz 11144	. . . . . . . . . 10
23	13, 22	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9
24		eluzfz1 11722	. . . . . . . . 9
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8
26	13	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
27		uzid 11124	. . . . . . . . . . . 12
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . 11
29		uzaddcl 11166	. . . . . . . . . . 11
30	28, 16, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
31	14, 30	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
32		elfzuzb 11711	. . . . . . . . 9
33	23, 31, 32	sylanbrc 664	. . . . . . . 8
34	18, 22	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9
35		ccatlen 12594	. . . . . . . . . . . 12
36	5, 6, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
37	1	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
38	10	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13
39		ccatlen 12594	. . . . . . . . . . . . . 14
40	2, 3, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
41	38, 14, 40	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . 12
42	41	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11
43	36, 37, 42	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10
44	18	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
45		uzid 11124	. . . . . . . . . . . 12
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . 11
47		lencl 12562	. . . . . . . . . . . 12
48	6, 47	syl 16	. . . . . . . . . . 11
49		uzaddcl 11166	. . . . . . . . . . 11
50	46, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
51	43, 50	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
52		elfzuzb 11711	. . . . . . . . 9
53	34, 51, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . 8
54		ccatswrd 12681	. . . . . . . 8
55	9, 25, 33, 53, 54	syl13anc 1230	. . . . . . 7
56		eluzfz1 11722	. . . . . . . . . . . 12
57	34, 56	syl 16	. . . . . . . . . . 11
58		lencl 12562	. . . . . . . . . . . . . 14
59	9, 58	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
60	59, 22	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . 12
61		eluzfz2 11723	. . . . . . . . . . . 12
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . 11
63		ccatswrd 12681	. . . . . . . . . . 11
64	9, 57, 53, 62, 63	syl13anc 1230	. . . . . . . . . 10
65		swrdid 12652	. . . . . . . . . . 11
66	9, 65	syl 16	. . . . . . . . . 10
67	64, 66, 1	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9
68		swrdcl 12646	. . . . . . . . . . 11
69	9, 68	syl 16	. . . . . . . . . 10
70		swrdcl 12646	. . . . . . . . . . 11
71	9, 70	syl 16	. . . . . . . . . 10
72		swrd0len 12649	. . . . . . . . . . . 12
73	9, 53, 72	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
74	73, 41	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
75		ccatopth 12695	. . . . . . . . . 10
76	69, 71, 5, 6, 74, 75	syl221anc 1239	. . . . . . . . 9
77	67, 76	mpbid 210	. . . . . . . 8
78	77	simpld 459	. . . . . . 7
79	55, 78	eqtrd 2498	. . . . . 6
80		swrdcl 12646	. . . . . . . 8
81	9, 80	syl 16	. . . . . . 7
82		swrdcl 12646	. . . . . . . 8
83	9, 82	syl 16	. . . . . . 7
84		uztrn 11126	. . . . . . . . . . 11
85	51, 31, 84	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
86		elfzuzb 11711	. . . . . . . . . 10
87	23, 85, 86	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9
88		swrd0len 12649	. . . . . . . . 9
89	9, 87, 88	syl2anc 661	. . . . . . . 8
90	89, 10	eqtrd 2498	. . . . . . 7
91		ccatopth 12695	. . . . . . 7
92	81, 83, 2, 3, 90, 91	syl221anc 1239	. . . . . 6
93	79, 92	mpbid 210	. . . . 5
94	93	simpld 459	. . . 4
95	94	oveq1d 6311	. . 3
96	77	simprd 463	. . 3
97	95, 96	oveq12d 6314	. 2
98	21, 97	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035  <.cotp 4037  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  caddc 9516  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536  csubstr 12538  csplice 12539

This theorem is referenced by:  efginvrel2  16745  efgredleme  16761  efgcpbllemb  16773  frgpnabllem1  16877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-ot 4038  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546  df-splice 12547