MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqd Unicode version

Theorem sqeqd 12999
Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqeqd.1
sqeqd.2
sqeqd.3
sqeqd.4
sqeqd.5
sqeqd.6
Assertion
Ref Expression
sqeqd

Proof of Theorem sqeqd
StepHypRef Expression
1 sqeqd.3 . . . . 5
2 sqeqd.1 . . . . . 6
3 sqeqd.2 . . . . . 6
4 sqeqor 12282 . . . . . 6
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5
61, 5mpbid 210 . . . 4
76ord 377 . . 3
8 simpl 457 . . . . 5
9 fveq2 5871 . . . . . . 7
10 reneg 12958 . . . . . . . 8
113, 10syl 16 . . . . . . 7
129, 11sylan9eqr 2520 . . . . . 6
13 sqeqd.4 . . . . . . . . . . . 12
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1514, 12breqtrd 4476 . . . . . . . . . 10
163adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
17 recl 12943 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11
1918le0neg1d 10149 . . . . . . . . . 10
2015, 19mpbird 232 . . . . . . . . 9
21 sqeqd.5 . . . . . . . . . 10
2221adantr 465 . . . . . . . . 9
23 0re 9617 . . . . . . . . . 10
24 letri3 9691 . . . . . . . . . 10
2518, 23, 24sylancl 662 . . . . . . . . 9
2620, 22, 25mpbir2and 922 . . . . . . . 8
2726negeqd 9837 . . . . . . 7
28 neg0 9888 . . . . . . 7
2927, 28syl6eq 2514 . . . . . 6
3012, 29eqtrd 2498 . . . . 5
31 sqeqd.6 . . . . 5
328, 30, 26, 31syl3anc 1228 . . . 4
3332ex 434 . . 3
347, 33syld 44 . 2
3534pm2.18d 111 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   cle 9650  -ucneg 9829  2c2 10610   cexp 12166   cre 12930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934
  Copyright terms: Public domain W3C validator