MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgcd Unicode version

Theorem sqgcd 14196
Description: Square distributes over GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sqgcd

Proof of Theorem sqgcd
StepHypRef Expression
1 nnz 10911 . . . . . . 7
2 nnz 10911 . . . . . . 7
31, 2anim12i 566 . . . . . 6
4 nnne0 10593 . . . . . . . . 9
54neneqd 2659 . . . . . . . 8
65intnanrd 917 . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
8 gcdn0cl 14152 . . . . . 6
93, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5
109nnsqcld 12330 . . . 4
1110nncnd 10577 . . 3
1211mulid1d 9634 . 2
13 nnsqcl 12237 . . . . . . 7
1413nnzd 10993 . . . . . 6
1514adantr 465 . . . . 5
16 nnsqcl 12237 . . . . . . 7
1716nnzd 10993 . . . . . 6
1817adantl 466 . . . . 5
19 gcddvds 14153 . . . . . . . 8
201, 2, 19syl2an 477 . . . . . . 7
2120simpld 459 . . . . . 6
229nnzd 10993 . . . . . . 7
231adantr 465 . . . . . . 7
24 dvdssqim 14191 . . . . . . 7
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . 6
2621, 25mpd 15 . . . . 5
2720simprd 463 . . . . . 6
282adantl 466 . . . . . . 7
29 dvdssqim 14191 . . . . . . 7
3022, 28, 29syl2anc 661 . . . . . 6
3127, 30mpd 15 . . . . 5
32 gcddiv 14187 . . . . 5
3315, 18, 10, 26, 31, 32syl32anc 1236 . . . 4
34 nncn 10569 . . . . . . 7
3534adantr 465 . . . . . 6
369nncnd 10577 . . . . . 6
379nnne0d 10605 . . . . . 6
3835, 36, 37sqdivd 12323 . . . . 5
39 nncn 10569 . . . . . . 7
4039adantl 466 . . . . . 6
4140, 36, 37sqdivd 12323 . . . . 5
4238, 41oveq12d 6314 . . . 4
43 gcddiv 14187 . . . . . . 7
4423, 28, 9, 20, 43syl31anc 1231 . . . . . 6
4536, 37dividd 10343 . . . . . 6
4644, 45eqtr3d 2500 . . . . 5
47 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
4822, 37, 23, 47syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4921, 48mpbid 210 . . . . . . 7
50 nnre 10568 . . . . . . . . 9
5150adantr 465 . . . . . . . 8
529nnred 10576 . . . . . . . 8
53 nngt0 10590 . . . . . . . . 9
5453adantr 465 . . . . . . . 8
559nngt0d 10604 . . . . . . . 8
5651, 52, 54, 55divgt0d 10506 . . . . . . 7
57 elnnz 10899 . . . . . . 7
5849, 56, 57sylanbrc 664 . . . . . 6
59 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
6022, 37, 28, 59syl3anc 1228 . . . . . . . 8
6127, 60mpbid 210 . . . . . . 7
62 nnre 10568 . . . . . . . . 9
6362adantl 466 . . . . . . . 8
64 nngt0 10590 . . . . . . . . 9
6564adantl 466 . . . . . . . 8
6663, 52, 65, 55divgt0d 10506 . . . . . . 7
67 elnnz 10899 . . . . . . 7
6861, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . 6
69 2nn 10718 . . . . . . 7
70 rppwr 14195 . . . . . . 7
7169, 70mp3an3 1313 . . . . . 6
7258, 68, 71syl2anc 661 . . . . 5
7346, 72mpd 15 . . . 4
7433, 42, 733eqtr2d 2504 . . 3
7514, 17anim12i 566 . . . . . 6
7613nnne0d 10605 . . . . . . . . 9
7776neneqd 2659 . . . . . . . 8
7877intnanrd 917 . . . . . . 7
7978adantr 465 . . . . . 6
80 gcdn0cl 14152 . . . . . 6
8175, 79, 80syl2anc 661 . . . . 5
8281nncnd 10577 . . . 4
8310nnne0d 10605 . . . 4
84 ax-1cn 9571 . . . . 5
85 divmul 10235 . . . . 5
8684, 85mp3an2 1312 . . . 4
8782, 11, 83, 86syl12anc 1226 . . 3
8874, 87mpbid 210 . 2
8912, 88eqtr3d 2500 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  dvdssqlem  14197  nn0gcdsq  14285  pythagtriplem3  14342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator