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Theorem sqr2irr 12899
Description: The square root of 2 is irrational. See zsqrelqelz 13201 for a generalization to all non-square integers. The proof's core is proven in sqr2irrlem 12898, which shows that if = (2), then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd. An older version of this proof was included in The Seventeen Provers of the World compiled by Freek Wiedijk. It is also the first "top 100" mathematical theorems whose formalization is tracked by Freek Wiedijk on his Formalizing 100 Theorems page at http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqr2irr

Proof of Theorem sqr2irr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10063 . . . . . 6
2 breq2 4247 . . . . . . . . 9
32imbi1d 310 . . . . . . . 8
43ralbidv 2732 . . . . . . 7
5 breq2 4247 . . . . . . . . 9
65imbi1d 310 . . . . . . . 8
76ralbidv 2732 . . . . . . 7
8 breq2 4247 . . . . . . . . 9
98imbi1d 310 . . . . . . . 8
109ralbidv 2732 . . . . . . 7
11 nnnlt1 10081 . . . . . . . . 9
1211pm2.21d 101 . . . . . . . 8
1312rgen 2778 . . . . . . 7
14 nnrp 10672 . . . . . . . . . . . . . 14
15 rphalflt 10689 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
17 breq1 4246 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 oveq2 6137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918neeq2d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019ralbidv 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2117, 20imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221rspcv 3057 . . . . . . . . . . . . . 14
2322com13 77 . . . . . . . . . . . . 13
2416, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12
25 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 zcn 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 nncn 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 2cn 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 nnne0 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3332ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 2ne0 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3627, 29, 31, 33, 35divcan7d 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3725, 36eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4038, 39, 25sqr2irrlem 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4240simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 oveq1 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4443neeq2d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544rspcv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4741, 46embantd 53 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847necon2bd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4937, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
5150necon2ad 2659 . . . . . . . . . . . . 13
5251ralrimdva 2803 . . . . . . . . . . . 12
5324, 52syld 43 . . . . . . . . . . 11
54 oveq1 6136 . . . . . . . . . . . . 13
5554neeq2d 2622 . . . . . . . . . . . 12
5655cbvralv 2941 . . . . . . . . . . 11
5753, 56syl6ibr 220 . . . . . . . . . 10
58 oveq2 6137 . . . . . . . . . . . . 13
5958neeq2d 2622 . . . . . . . . . . . 12
6059ralbidv 2732 . . . . . . . . . . 11
6160ceqsralv 2992 . . . . . . . . . 10
6257, 61sylibrd 227 . . . . . . . . 9
6362ancld 538 . . . . . . . 8
64 nnleltp1 10380 . . . . . . . . . . . . . 14
65 nnre 10058 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 nnre 10058 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 leloe 9212 . . . . . . . . . . . . . . 15
6865, 66, 67syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6964, 68bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . 13
7069ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12
7170imbi1d 310 . . . . . . . . . . 11
72 jaob 760 . . . . . . . . . . 11
7371, 72syl6bb 254 . . . . . . . . . 10
7473ralbidva 2728 . . . . . . . . 9
75 r19.26 2845 . . . . . . . . 9
7674, 75syl6bb 254 . . . . . . . 8
7763, 76sylibrd 227 . . . . . . 7
784, 7, 10, 10, 13, 77nnind 10069 . . . . . 6
791, 78syl 16 . . . . 5
8066ltp1d 9992 . . . . 5
81 breq1 4246 . . . . . . 7
82 df-ne 2608 . . . . . . . . . 10
8359, 82syl6bb 254 . . . . . . . . 9
8483ralbidv 2732 . . . . . . . 8
85 ralnex 2722 . . . . . . . 8
8684, 85syl6bb 254 . . . . . . 7
8781, 86imbi12d 313 . . . . . 6
8887rspcv 3057 . . . . 5
8979, 80, 88mp2d 44 . . . 4
9089nrex 2815 . . 3
91 elq 10627 . . . 4
92 rexcom 2876 . . . 4
9391, 92bitri 242 . . 3
9490, 93mtbir 292 . 2
9594nelir 2705 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606  e/wnel 2607  A.wral 2712  E.wrex 2713   class class class wbr 4243  `cfv 5501  (class class class)co 6129   cc 9039   cr 9040  0cc0 9041  1c1 9042   caddc 9044   clt 9171   cle 9172   cdiv 9728   cn 10051  2c2 10100   cz 10333   cq 10625   crp 10663   csqr 12089
This theorem is referenced by:  nthruc  12901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118  ax-pre-sup 9119
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-sup 7495  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-div 9729  df-nn 10052  df-2 10109  df-3 10110  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-q 10626  df-rp 10664  df-seq 11375  df-exp 11434  df-cj 11955  df-re 11956  df-im 11957  df-sqr 12091  df-abs 12092
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