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Theorem sqr2irr 12840
Description: The square root of 2 is irrational. See zsqrelqelz 13142 for a generalization to all non-square integers. The proof's core is proven in sqr2irrlem 12839, which shows that if A B= (2), then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd. An older version of this proof was included in The Seventeen Provers of the World compiled by Freek Wiedijk. It is also the first "top 100" mathematical theorems whose formalization is tracked by Freek Wiedijk on his Formalizing 100 Theorems page at http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqr2irr

Proof of Theorem sqr2irr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10004 . . . . . 6
2 breq2 4208 . . . . . . . . 9
32imbi1d 309 . . . . . . . 8
43ralbidv 2717 . . . . . . 7
5 breq2 4208 . . . . . . . . 9
65imbi1d 309 . . . . . . . 8
76ralbidv 2717 . . . . . . 7
8 breq2 4208 . . . . . . . . 9
98imbi1d 309 . . . . . . . 8
109ralbidv 2717 . . . . . . 7
11 nnnlt1 10022 . . . . . . . . 9
1211pm2.21d 100 . . . . . . . 8
1312rgen 2763 . . . . . . 7
14 nnrp 10613 . . . . . . . . . . . . . 14
15 rphalflt 10630 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
17 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918neeq2d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019ralbidv 2717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2117, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14
2322com13 76 . . . . . . . . . . . . 13
2416, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 zcn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3627, 29, 31, 33, 35divcan7d 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3725, 36eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4038, 39, 25sqr2irrlem 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4240simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4443neeq2d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4741, 46embantd 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847necon2bd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4937, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14
5150necon2ad 2646 . . . . . . . . . . . . 13
5251ralrimdva 2788 . . . . . . . . . . . 12
5324, 52syld 42 . . . . . . . . . . 11
54 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13
5554neeq2d 2612 . . . . . . . . . . . 12
5655cbvralv 2924 . . . . . . . . . . 11
5753, 56syl6ibr 219 . . . . . . . . . 10
58 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13
5958neeq2d 2612 . . . . . . . . . . . 12
6059ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11
6160ceqsralv 2975 . . . . . . . . . 10
6257, 61sylibrd 226 . . . . . . . . 9
6362ancld 537 . . . . . . . 8
64 nnleltp1 10321 . . . . . . . . . . . . . 14
65 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 leloe 9153 . . . . . . . . . . . . . . 15
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
6964, 68bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13
7069ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12
7170imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11
72 jaob 759 . . . . . . . . . . 11
7371, 72syl6bb 253 . . . . . . . . . 10
7473ralbidva 2713 . . . . . . . . 9
75 r19.26 2830 . . . . . . . . 9
7674, 75syl6bb 253 . . . . . . . 8
7763, 76sylibrd 226 . . . . . . 7
784, 7, 10, 10, 13, 77nnind 10010 . . . . . 6
791, 78syl 16 . . . . 5
8066ltp1d 9933 . . . . 5
81 breq1 4207 . . . . . . 7
82 df-ne 2600 . . . . . . . . . 10
8359, 82syl6bb 253 . . . . . . . . 9
8483ralbidv 2717 . . . . . . . 8
85 ralnex 2707 . . . . . . . 8
8684, 85syl6bb 253 . . . . . . 7
8781, 86imbi12d 312 . . . . . 6
8887rspcv 3040 . . . . 5
8979, 80, 88mp2d 43 . . . 4
9089nrex 2800 . . 3
91 elq 10568 . . . 4
92 rexcom 2861 . . . 4
9391, 92bitri 241 . . 3
9490, 93mtbir 291 . 2
95 df-nel 2601 . 2
9694, 95mpbir 201 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 177  \/wo 358  /\wa 359  =wceq 1652  e.wcel 1725  =/=wne 2598  e/wnel 2599  A.wral 2697  E.wrex 2698   class class class wbr 4204  `cfv 5446  (class class class)co 6073   cc 8980   cr 8981  0cc0 8982  1c1 8983   caddc 8985   clt 9112   cle 9113   cdiv 9669   cn 9992  2c2 10041   cz 10274   cq 10566   crp 10604   csqr 12030
This theorem is referenced by:  nthruc  12842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
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