Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2irrlem Unicode version

Theorem sqr2irrlem 13981
 Description: Lemma for irrationality of square root of 2. The core of the proof - if A = (2), then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqr2irrlem.1
sqr2irrlem.2
sqrt2irrlem.3
Assertion
Ref Expression
sqr2irrlem

Proof of Theorem sqr2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cn 10631 . . . . . . . . . . . 12
2 sqrtth 13197 . . . . . . . . . . . 12
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
4 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12
54oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
63, 5syl5eqr 2512 . . . . . . . . . 10
7 sqr2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12
87zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
9 sqr2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12
109nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
119nnne0d 10605 . . . . . . . . . . 11
128, 10, 11sqdivd 12323 . . . . . . . . . 10
136, 12eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
1413oveq1d 6311 . . . . . . . 8
158sqcld 12308 . . . . . . . . 9
169nnsqcld 12330 . . . . . . . . . 10
1716nncnd 10577 . . . . . . . . 9
1816nnne0d 10605 . . . . . . . . 9
1915, 17, 18divcan1d 10346 . . . . . . . 8
2014, 19eqtrd 2498 . . . . . . 7
2120oveq1d 6311 . . . . . 6
221a1i 11 . . . . . . 7
23 2ne0 10653 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
2517, 22, 24divcan3d 10350 . . . . . 6
2621, 25eqtr3d 2500 . . . . 5
2726, 16eqeltrd 2545 . . . 4
2827nnzd 10993 . . 3
29 zesq 12289 . . . 4
307, 29syl 16 . . 3
3128, 30mpbird 232 . 2
321sqvali 12247 . . . . . . . 8
3332oveq2i 6307 . . . . . . 7
348, 22, 24sqdivd 12323 . . . . . . 7
3515, 22, 22, 24, 24divdiv1d 10376 . . . . . . 7
3633, 34, 353eqtr4a 2524 . . . . . 6
3726oveq1d 6311 . . . . . 6
3836, 37eqtrd 2498 . . . . 5
39 zsqcl 12238 . . . . . 6
4031, 39syl 16 . . . . 5
4138, 40eqeltrrd 2546 . . . 4
4216nnrpd 11284 . . . . . 6
4342rphalfcld 11297 . . . . 5
4443rpgt0d 11288 . . . 4
45 elnnz 10899 . . . 4
4641, 44, 45sylanbrc 664 . . 3
47 nnesq 12290 . . . 4
489, 47syl 16 . . 3
4946, 48mpbird 232 . 2
5031, 49jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cdiv 10231   cn 10561  2`c2 10610   cz 10889   cexp 12166   csqrt 13066 This theorem is referenced by:  sqrt2irr  13982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
 Copyright terms: Public domain W3C validator