MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqreu Unicode version

Theorem sqreu 13193
Description: Existence and uniqueness for the square root function in general. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqreu
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem sqreu
StepHypRef Expression
1 abscl 13111 . . . . . . . 8
21recnd 9643 . . . . . . 7
3 subneg 9891 . . . . . . 7
42, 3mpancom 669 . . . . . 6
54eqeq1d 2459 . . . . 5
6 negcl 9843 . . . . . 6
72, 6subeq0ad 9964 . . . . 5
85, 7bitr3d 255 . . . 4
9 ax-icn 9572 . . . . . . 7
10 absge0 13120 . . . . . . . . . . . 12
111, 10jca 532 . . . . . . . . . . 11
12 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
13 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
1511, 14syl5ib 219 . . . . . . . . . 10
1615impcom 430 . . . . . . . . 9
17 resqrtcl 13087 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8
1918recnd 9643 . . . . . . 7
20 mulcl 9597 . . . . . . 7
219, 19, 20sylancr 663 . . . . . 6
22 sqrtneglem 13100 . . . . . . . 8
2316, 22syl 16 . . . . . . 7
24 negneg 9892 . . . . . . . . . 10
2524adantr 465 . . . . . . . . 9
2625eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
27263anbi1d 1303 . . . . . . 7
2823, 27mpbid 210 . . . . . 6
29 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
3029eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
31 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
3231breq2d 4464 . . . . . . . 8
33 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
34 neleq1 2795 . . . . . . . . 9
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8
3630, 32, 353anbi123d 1299 . . . . . . 7
3736rspcev 3210 . . . . . 6
3821, 28, 37syl2anc 661 . . . . 5
3938ex 434 . . . 4
408, 39sylbid 215 . . 3
41 resqrtcl 13087 . . . . . . . . 9
421, 10, 41syl2anc 661 . . . . . . . 8
4342recnd 9643 . . . . . . 7
4443adantr 465 . . . . . 6
45 addcl 9595 . . . . . . . . 9
462, 45mpancom 669 . . . . . . . 8
4746adantr 465 . . . . . . 7
48 abscl 13111 . . . . . . . . . 10
4946, 48syl 16 . . . . . . . . 9
5049recnd 9643 . . . . . . . 8
5150adantr 465 . . . . . . 7
5246abs00ad 13123 . . . . . . . . 9
5352necon3bid 2715 . . . . . . . 8
5453biimpar 485 . . . . . . 7
5547, 51, 54divcld 10345 . . . . . 6
5644, 55mulcld 9637 . . . . 5
57 eqid 2457 . . . . . 6
5857sqreulem 13192 . . . . 5
59 oveq1 6303 . . . . . . . 8
6059eqeq1d 2459 . . . . . . 7
61 fveq2 5871 . . . . . . . 8
6261breq2d 4464 . . . . . . 7
63 oveq2 6304 . . . . . . . 8
64 neleq1 2795 . . . . . . . 8
6563, 64syl 16 . . . . . . 7
6660, 62, 653anbi123d 1299 . . . . . 6
6766rspcev 3210 . . . . 5
6856, 58, 67syl2anc 661 . . . 4
6968ex 434 . . 3
7040, 69pm2.61dne 2774 . 2
71 sqrmo 13085 . 2
72 reu5 3073 . 2
7370, 71, 72sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  E.wrex 2808  E!wreu 2809  E*wrmo 2810   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   crp 11249   cexp 12166   cre 12930   csqrt 13066   cabs 13067
This theorem is referenced by:  sqrtcl  13194  sqrtthlem  13195  eqsqrtd  13200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator