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Theorem sqreulem 13192
Description: Lemma for sqreu 13193: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrteulem.1
Assertion
Ref Expression
sqreulem

Proof of Theorem sqreulem
StepHypRef Expression
1 sqrteulem.1 . . . . 5
21oveq1i 6306 . . . 4
3 abscl 13111 . . . . . . . 8
4 absge0 13120 . . . . . . . 8
5 resqrtcl 13087 . . . . . . . 8
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . 7
76recnd 9643 . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
93recnd 9643 . . . . . . . 8
10 addcl 9595 . . . . . . . 8
119, 10mpancom 669 . . . . . . 7
1211adantr 465 . . . . . 6
13 abscl 13111 . . . . . . . . 9
1411, 13syl 16 . . . . . . . 8
1514recnd 9643 . . . . . . 7
1615adantr 465 . . . . . 6
1711abs00ad 13123 . . . . . . . 8
1817necon3bid 2715 . . . . . . 7
1918biimpar 485 . . . . . 6
2012, 16, 19divcld 10345 . . . . 5
218, 20sqmuld 12322 . . . 4
222, 21syl5eq 2510 . . 3
233adantr 465 . . . . 5
244adantr 465 . . . . 5
25 resqrtth 13089 . . . . 5
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . 4
2712, 16, 19sqdivd 12323 . . . . 5
28 absvalsq 13113 . . . . . . . . . . 11
29 2cn 10631 . . . . . . . . . . . . . 14
30 mulass 9601 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 30mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . 13
329, 31mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12
33 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
3429, 9, 33sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
35 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12
3732, 36eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11
3828, 37oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
39 cjcl 12938 . . . . . . . . . . 11
40 adddi 9602 . . . . . . . . . . 11
4139, 34, 40mpd3an23 1326 . . . . . . . . . 10
4238, 41eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
43 sqval 12227 . . . . . . . . 9
4442, 43oveq12d 6314 . . . . . . . 8
45 binom2 12283 . . . . . . . . 9
469, 45mpancom 669 . . . . . . . 8
47 id 22 . . . . . . . . 9
4839, 34addcld 9636 . . . . . . . . 9
4947, 48, 47adddid 9641 . . . . . . . 8
5044, 46, 493eqtr4d 2508 . . . . . . 7
519, 34mulcld 9637 . . . . . . . . . . 11
529, 39mulcld 9637 . . . . . . . . . . 11
5351, 52addcomd 9803 . . . . . . . . . 10
549, 9mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . 13
55542timesd 10806 . . . . . . . . . . . 12
56 mul12 9767 . . . . . . . . . . . . . 14
5729, 56mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . 13
589, 9, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
599sqvald 12307 . . . . . . . . . . . . . 14
60 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . . . . 15
6139, 60mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . 14
6228, 59, 613eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . 13
6362oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
6455, 58, 633eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . . 11
6564oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
669, 39, 34adddid 9641 . . . . . . . . . 10
6753, 65, 663eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
6867oveq1d 6311 . . . . . . . 8
69 cjadd 12974 . . . . . . . . . . . . 13
709, 69mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12
713cjred 13059 . . . . . . . . . . . . 13
7271oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
7370, 72eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
7473oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
759, 47, 9, 39muladdd 10039 . . . . . . . . . 10
7674, 75eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
77 absvalsq 13113 . . . . . . . . . 10
7811, 77syl 16 . . . . . . . . 9
79 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
8039, 79mpancom 669 . . . . . . . . . . 11
8154, 80addcld 9636 . . . . . . . . . 10
82 mulcl 9597 . . . . . . . . . . 11
839, 82mpancom 669 . . . . . . . . . 10
8481, 52, 83addassd 9639 . . . . . . . . 9
8576, 78, 843eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
869, 48, 47adddid 9641 . . . . . . . 8
8768, 85, 863eqtr4d 2508 . . . . . . 7
8850, 87oveq12d 6314 . . . . . 6
8988adantr 465 . . . . 5
9027, 89eqtrd 2498 . . . 4
9126, 90oveq12d 6314 . . 3
92 addcl 9595 . . . . . . . 8
9348, 92mpancom 669 . . . . . . 7
949, 47, 93mul12d 9810 . . . . . 6
9594oveq1d 6311 . . . . 5
9695adantr 465 . . . 4
979adantr 465 . . . . 5
98 mulcl 9597 . . . . . . 7
9993, 98mpdan 668 . . . . . 6
10099adantr 465 . . . . 5
1019, 93mulcld 9637 . . . . . 6
102101adantr 465 . . . . 5
103 sqeq0 12232 . . . . . . . . 9
10415, 103syl 16 . . . . . . . 8
10587eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
106104, 105, 173bitr3rd 284 . . . . . . 7
107106necon3bid 2715 . . . . . 6
108107biimpa 484 . . . . 5
10997, 100, 102, 108divassd 10380 . . . 4
110 simpl 457 . . . . 5
111110, 102, 108divcan4d 10351 . . . 4
11296, 109, 1113eqtr3d 2506 . . 3
11322, 91, 1123eqtrd 2502 . 2
1146adantr 465 . . . . 5
11511addcjd 13045 . . . . . . . 8
116 2re 10630 . . . . . . . . 9
11711recld 13027 . . . . . . . . 9
118 remulcl 9598 . . . . . . . . 9
119116, 117, 118sylancr 663 . . . . . . . 8
120115, 119eqeltrd 2545 . . . . . . 7
121120adantr 465 . . . . . 6
12214adantr 465 . . . . . 6
123121, 122, 19redivcld 10397 . . . . 5
124114, 123remulcld 9645 . . . 4
125 sqrtge0 13091 . . . . . . 7
1263, 4, 125syl2anc 661 . . . . . 6
127126adantr 465 . . . . 5
128 negcl 9843 . . . . . . . . . . . 12
129 releabs 13154 . . . . . . . . . . . 12
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . 11
131 abscl 13111 . . . . . . . . . . . . 13
132128, 131syl 16 . . . . . . . . . . . 12
133128recld 13027 . . . . . . . . . . . 12
134132, 133subge0d 10167 . . . . . . . . . . 11
135130, 134mpbird 232 . . . . . . . . . 10
136 readd 12959 . . . . . . . . . . . 12
1379, 136mpancom 669 . . . . . . . . . . 11
1383rered 13057 . . . . . . . . . . . . 13
139 absneg 13110 . . . . . . . . . . . . 13
140138, 139eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
141 negneg 9892 . . . . . . . . . . . . . 14
142141fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
143128renegd 13042 . . . . . . . . . . . . 13
144142, 143eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . 12
145140, 144oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
146132recnd 9643 . . . . . . . . . . . 12
147133recnd 9643 . . . . . . . . . . . 12
148146, 147negsubd 9960 . . . . . . . . . . 11
149137, 145, 1483eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10
150135, 149breqtrrd 4478 . . . . . . . . 9
151 0le2 10651 . . . . . . . . . 10
152 mulge0 10095 . . . . . . . . . 10
153116, 151, 152mpanl12 682 . . . . . . . . 9
154117, 150, 153syl2anc 661 . . . . . . . 8
155154, 115breqtrrd 4478 . . . . . . 7
156155adantr 465 . . . . . 6
157 absge0 13120 . . . . . . . 8
15812, 157syl 16 . . . . . . 7
159122, 158, 19ne0gt0d 9743 . . . . . 6
160 divge0 10436 . . . . . 6
161121, 156, 122, 159, 160syl22anc 1229 . . . . 5
162114, 123, 127, 161mulge0d 10154 . . . 4
163 2pos 10652 . . . . 5
164 divge0 10436 . . . . 5
165116, 163, 164mpanr12 685 . . . 4
166124, 162, 165syl2anc 661 . . 3
1678, 20mulcld 9637 . . . . . 6
1681, 167syl5eqel 2549 . . . . 5
169 reval 12939 . . . . 5
170168, 169syl 16 . . . 4
1711oveq1i 6306 . . . . . . 7
1721fveq2i 5874 . . . . . . . . . 10
1738, 20cjmuld 13054 . . . . . . . . . 10
174172, 173syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
1756cjred 13059 . . . . . . . . . . 11
176175adantr 465 . . . . . . . . . 10
17712, 16, 19cjdivd 13056 . . . . . . . . . . 11
178122cjred 13059 . . . . . . . . . . . 12
179178oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
180177, 179eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
181176, 180oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
182174, 181eqtrd 2498 . . . . . . . 8
183182oveq2d 6312 . . . . . . 7
18412cjcld 13029 . . . . . . . . 9
185184, 16, 19divcld 10345 . . . . . . . 8
1868, 20, 185adddid 9641 . . . . . . 7
187171, 183, 1863eqtr4a 2524 . . . . . 6
18812, 184, 16, 19divdird 10383 . . . . . . 7
189188oveq2d 6312 . . . . . 6
190187, 189eqtr4d 2501 . . . . 5
191190oveq1d 6311 . . . 4
192170, 191eqtrd 2498 . . 3
193166, 192breqtrrd 4478 . 2
194 subneg 9891 . . . . . . . . . 10
1959, 194mpancom 669 . . . . . . . . 9
196195eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
1979, 128subeq0ad 9964 . . . . . . . 8
198196, 197bitr3d 255 . . . . . . 7
199198necon3bid 2715 . . . . . 6
200199biimpa 484 . . . . 5
201 resqcl 12235 . . . . . . . . . 10
202 ax-icn 9572 . . . . . . . . . . . . 13
203 sqmul 12231 . . . . . . . . . . . . 13
204202, 168, 203sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
205 i2 12268 . . . . . . . . . . . . . 14
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
207206, 113oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12
208 mulm1 10023 . . . . . . . . . . . . 13
209208adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
210204, 207, 2093eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11
211210eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
212201, 211syl5ib 219 . . . . . . . . 9
213 renegcl 9905 . . . . . . . . . 10
214141eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
215213, 214syl5ib 219 . . . . . . . . 9
216110, 212, 215sylsyld 56 . . . . . . . 8
217 sqge0 12244 . . . . . . . . . 10
218210breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
219217, 218syl5ib 219 . . . . . . . . 9
220 le0neg1 10085 . . . . . . . . . 10
221220biimprcd 225 . . . . . . . . 9
222219, 216, 221syl6c 64 . . . . . . . 8
223216, 222jcad 533 . . . . . . 7
224 absnid 13131 . . . . . . 7
225223, 224syl6 33 . . . . . 6
226225necon3ad 2667 . . . . 5
227200, 226mpd 15 . . . 4
228 rpre 11255 . . . 4
229227, 228nsyl 121 . . 3
230 df-nel 2655 . . 3
231229, 230sylibr 212 . 2
232113, 193, 2313jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   crp 11249   cexp 12166   ccj 12929   cre 12930   csqrt 13066   cabs 13067
This theorem is referenced by:  sqreu  13193  cphsqrtcl2  21633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016 &n