MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem6 Unicode version

Theorem sqrlem6 13081
Description: Lemma for 01sqrex 13083. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1
sqrlem1.2
sqrlem5.3
Assertion
Ref Expression
sqrlem6
Distinct variable groups:   , , ,S   , , , ,   ,

Proof of Theorem sqrlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4
2 sqrlem1.2 . . . 4
3 sqrlem5.3 . . . 4
41, 2, 3sqrlem5 13080 . . 3
54simprd 463 . 2
6 vex 3112 . . . . . 6
7 eqeq1 2461 . . . . . . 7
872rexbidv 2975 . . . . . 6
96, 8, 3elab2 3249 . . . . 5
10 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211, 1elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . 14
1312simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13
14 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615, 1elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . 14
1716simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13
18 rpre 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
20 rpre 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
22 rpgt0 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
24 lemul1 10419 . . . . . . . . . . . . . 14
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13
2613, 17, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
2717rpcnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827sqvald 12307 . . . . . . . . . . . . . 14
2928breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . 13
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10
3316simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12
3433ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
3513rpred 11285 . . . . . . . . . . . . . 14
3617rpred 11285 . . . . . . . . . . . . . 14
37 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . 14
3835, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
4036resqcld 12336 . . . . . . . . . . . . 13
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12
42 rpre 11255 . . . . . . . . . . . . 13
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
44 letr 9699 . . . . . . . . . . . 12
4539, 41, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
4634, 45mpan2d 674 . . . . . . . . . 10
4732, 46sylbid 215 . . . . . . . . 9
48 rpgt0 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
50 lemul2 10420 . . . . . . . . . . . . . 14
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13
5213, 17, 51syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
5313rpcnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453sqvald 12307 . . . . . . . . . . . . . 14
5554breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . 13
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5752, 56bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11
5857adantl 466 . . . . . . . . . 10
5912simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
6135resqcld 12336 . . . . . . . . . . . . 13
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
63 letr 9699 . . . . . . . . . . . 12
6439, 62, 43, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
6560, 64mpan2d 674 . . . . . . . . . 10
6658, 65sylbid 215 . . . . . . . . 9
671, 2sqrlem3 13078 . . . . . . . . . . . . . 14
6867simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . 13
6968sseld 3502 . . . . . . . . . . . 12
7068sseld 3502 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70anim12d 563 . . . . . . . . . . 11
7271imp 429 . . . . . . . . . 10
73 letric 9706 . . . . . . . . . 10
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9
7547, 66, 74mpjaod 381 . . . . . . . 8
7675ex 434 . . . . . . 7
77 breq1 4455 . . . . . . . 8
7877biimprcd 225 . . . . . . 7
7976, 78syl6 33 . . . . . 6
8079rexlimdvv 2955 . . . . 5
819, 80syl5bi 217 . . . 4
8281ralrimiv 2869 . . 3
834simpld 459 . . . 4
8442adantr 465 . . . 4
85 suprleub 10532 . . . 4
8683, 84, 85syl2anc 661 . . 3
8782, 86mpbird 232 . 2
885, 87eqbrtrd 4472 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cle 9650  2c2 10610   crp 11249   cexp 12166
This theorem is referenced by:  sqrlem7  13082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator