MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem7 Unicode version

Theorem sqrlem7 13082
Description: Lemma for 01sqrex 13083. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1
sqrlem1.2
sqrlem5.3
Assertion
Ref Expression
sqrlem7
Distinct variable groups:   , , ,S   , , , ,   ,

Proof of Theorem sqrlem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . 3
2 sqrlem1.2 . . 3
3 sqrlem5.3 . . 3
41, 2, 3sqrlem6 13081 . 2
51, 2sqrlem3 13078 . . . . 5
65adantr 465 . . . 4
71, 2sqrlem4 13079 . . . . . . . 8
87adantr 465 . . . . . . 7
98simpld 459 . . . . . 6
10 rpre 11255 . . . . . . . . . . 11
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10
12 rpre 11255 . . . . . . . . . . . . 13
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
147, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11
1514resqcld 12336 . . . . . . . . . 10
1611, 15resubcld 10012 . . . . . . . . 9
1716adantr 465 . . . . . . . 8
1815, 11posdifd 10164 . . . . . . . . 9
1918biimpa 484 . . . . . . . 8
2017, 19elrpd 11283 . . . . . . 7
21 3re 10634 . . . . . . . 8
22 3pos 10654 . . . . . . . 8
2321, 22elrpii 11252 . . . . . . 7
24 rpdivcl 11271 . . . . . . 7
2520, 23, 24sylancl 662 . . . . . 6
269, 25rpaddcld 11300 . . . . 5
2714adantr 465 . . . . . . . . 9
2827recnd 9643 . . . . . . . 8
29 3nn 10719 . . . . . . . . . . 11
30 nndivre 10596 . . . . . . . . . . 11
3116, 29, 30sylancl 662 . . . . . . . . . 10
3231adantr 465 . . . . . . . . 9
3332recnd 9643 . . . . . . . 8
34 binom2 12283 . . . . . . . 8
3528, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . 7
3615adantr 465 . . . . . . . . 9
3736recnd 9643 . . . . . . . 8
38 2re 10630 . . . . . . . . . 10
3927, 32remulcld 9645 . . . . . . . . . 10
40 remulcl 9598 . . . . . . . . . 10
4138, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . 9
4241recnd 9643 . . . . . . . 8
4332resqcld 12336 . . . . . . . . 9
4443recnd 9643 . . . . . . . 8
4537, 42, 44addassd 9639 . . . . . . 7
4635, 45eqtrd 2498 . . . . . 6
47 2cn 10631 . . . . . . . . . . . . 13
48 mulass 9601 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12
5028, 33, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
5150eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
5233sqvald 12307 . . . . . . . . . 10
5351, 52oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
54 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . 12
5538, 27, 54sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
5655recnd 9643 . . . . . . . . . 10
5756, 33, 33adddird 9642 . . . . . . . . 9
5853, 57eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
597simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 2pos 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 1re 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62 lemul2 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6361, 62mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6438, 60, 63mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6514, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6659, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
68 2t1e2 10709 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68syl6breq 4491 . . . . . . . . . . . 12
7011adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7227sqge0d 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7370, 36addge01d 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7472, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7570, 36, 70lesubaddd 10174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7674, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7817, 70, 71, 76, 77letrd 9760 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 1le3 10777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8161, 21, 80mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8217, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8379, 82mpan2i 677 . . . . . . . . . . . . . . 15
8478, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
85 3t1e3 10711 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85syl6breqr 4492 . . . . . . . . . . . . 13
87 ledivmul 10443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8861, 87mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15
8921, 22, 88mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . . 14
9017, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9186, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
92 le2add 10059 . . . . . . . . . . . . . 14
9338, 61, 92mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . 13
9455, 32, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
9569, 91, 94mp2and 679 . . . . . . . . . . 11
96 df-3 10620 . . . . . . . . . . 11
9795, 96syl6breqr 4492 . . . . . . . . . 10
9855, 32readdcld 9644 . . . . . . . . . . 11
9921a1i 11 . . . . . . . . . . 11
10098, 99, 25lemul1d 11324 . . . . . . . . . 10
10197, 100mpbid 210 . . . . . . . . 9
10217recnd 9643 . . . . . . . . . 10
103 3cn 10635 . . . . . . . . . . 11
104 3ne0 10655 . . . . . . . . . . 11
105 divcan2 10240 . . . . . . . . . . 11
106103, 104, 105mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10
107102, 106syl 16 . . . . . . . . 9
108101, 107breqtrd 4476 . . . . . . . 8
10958, 108eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
11041, 43readdcld 9644 . . . . . . . 8
11136, 110, 70leaddsub2d 10179 . . . . . . 7
112109, 111mpbird 232 . . . . . 6
11346, 112eqbrtrd 4472 . . . . 5
114 oveq1 6303 . . . . . . 7
115114breq1d 4462 . . . . . 6
116 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
117116breq1d 4462 . . . . . . . 8
118117cbvrabv 3108 . . . . . . 7
1191, 118eqtri 2486 . . . . . 6
120115, 119elrab2 3259 . . . . 5
12126, 113, 120sylanbrc 664 . . . 4
122 suprub 10529 . . . . 5
123122, 2syl6breqr 4492 . . . 4
1246, 121, 123syl2anc 661 . . 3
12525rpgt0d 11288 . . . 4
12631, 14ltaddposd 10161 . . . . . 6
12714, 31readdcld 9644 . . . . . . 7
12814, 127ltnled 9753 . . . . . 6
129126, 128bitrd 253 . . . . 5
130129biimpa 484 . . . 4
131125, 130syldan 470 . . 3
132124, 131pm2.65da 576 . 2
13315, 11eqleltd 9750 . 2
1344, 132, 133mpbir2and 922 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610  3c3 10611   crp 11249   cexp 12166
This theorem is referenced by:  01sqrex  13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator