Theorem sqrt2irr 13982

Description: The square root of 2 is irrational. See zsqrtelqelz 14291 for a generalization to all non-square integers. The proof's core is proven in sqr2irrlem 13981, which shows that if A=(2), then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd. An older version of this proof was included in The Seventeen Provers of the World compiled by Freek Wiedijk. It is also the first "top 100" mathematical theorems whose formalization is tracked by Freek Wiedijk on his Formalizing 100 Theorems page at http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irr

Proof of Theorem sqrt2irr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10573	. . . . . 6
2		breq2 4456	. . . . . . . . 9
3	2	imbi1d 317	. . . . . . . 8
4	3	ralbidv 2896	. . . . . . 7
5		breq2 4456	. . . . . . . . 9
6	5	imbi1d 317	. . . . . . . 8
7	6	ralbidv 2896	. . . . . . 7
8		breq2 4456	. . . . . . . . 9
9	8	imbi1d 317	. . . . . . . 8
10	9	ralbidv 2896	. . . . . . 7
11		nnnlt1 10591	. . . . . . . . 9
12	11	pm2.21d 106	. . . . . . . 8
13	12	rgen 2817	. . . . . . 7
14		nnrp 11258	. . . . . . . . . . . . . 14
15		rphalflt 11275	. . . . . . . . . . . . . 14
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
17		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19	18	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20	19	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21	17, 20	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	21	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . 14
23	22	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13
24	16, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
25		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
26		zcn 10894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28		nncn 10569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30		2cnd 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31		nnne0 10593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33		2ne0 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35	27, 29, 30, 32, 34	divcan7d 10373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	25, 35	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39	37, 38, 25	sqr2irrlem 13981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40	39	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	39	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43	42	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44	43	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45	41, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46	40, 45	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	46	necon2bd 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	36, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	48	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	necon2ad 2670	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	ralrimdva 2875	. . . . . . . . . . . 12
52	24, 51	syld 44	. . . . . . . . . . 11
53		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . . 12
55	54	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . 11
56	52, 55	syl6ibr 227	. . . . . . . . . 10
57		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . 13
58	57	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . . 12
59	58	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11
60	59	ceqsralv 3138	. . . . . . . . . 10
61	56, 60	sylibrd 234	. . . . . . . . 9
62	61	ancld 553	. . . . . . . 8
63		nnleltp1 10943	. . . . . . . . . . . . . 14
64		nnre 10568	. . . . . . . . . . . . . . 15
65		nnre 10568	. . . . . . . . . . . . . . 15
66		leloe 9692	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	64, 65, 66	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14
68	63, 67	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13
69	68	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12
70	69	imbi1d 317	. . . . . . . . . . 11
71		jaob 783	. . . . . . . . . . 11
72	70, 71	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10
73	72	ralbidva 2893	. . . . . . . . 9
74		r19.26 2984	. . . . . . . . 9
75	73, 74	syl6bb 261	. . . . . . . 8
76	62, 75	sylibrd 234	. . . . . . 7
77	4, 7, 10, 10, 13, 76	nnind 10579	. . . . . 6
78	1, 77	syl 16	. . . . 5
79	65	ltp1d 10501	. . . . 5
80		breq1 4455	. . . . . . 7
81		df-ne 2654	. . . . . . . . . 10
82	58, 81	syl6bb 261	. . . . . . . . 9
83	82	ralbidv 2896	. . . . . . . 8
84		ralnex 2903	. . . . . . . 8
85	83, 84	syl6bb 261	. . . . . . 7
86	80, 85	imbi12d 320	. . . . . 6
87	86	rspcv 3206	. . . . 5
88	78, 79, 87	mp2d 45	. . . 4
89	88	nrex 2912	. . 3
90		elq 11213	. . . 4
91		rexcom 3019	. . . 4
92	90, 91	bitri 249	. . 3
93	89, 92	mtbir 299	. 2
94	93	nelir 2793	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cz 10889  cq 11211  crp 11249  csqrt 13066

This theorem is referenced by:  nthruc  13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069