MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtneglem Unicode version

Theorem sqrtneglem 13100
Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtneglem

Proof of Theorem sqrtneglem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9572 . . . 4
2 resqrtcl 13087 . . . . 5
3 recn 9603 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
5 sqmul 12231 . . . 4
61, 4, 5sylancr 663 . . 3
7 i2 12268 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4
9 resqrtth 13089 . . . 4
108, 9oveq12d 6314 . . 3
11 recn 9603 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
1312mulm1d 10033 . . 3
146, 10, 133eqtrd 2502 . 2
15 renegcl 9905 . . . 4
16 0re 9617 . . . . 5
17 reim0 12951 . . . . . 6
18 recn 9603 . . . . . . 7
19 imre 12941 . . . . . . 7
2018, 19syl 16 . . . . . 6
2117, 20eqtr3d 2500 . . . . 5
22 eqle 9708 . . . . 5
2316, 21, 22sylancr 663 . . . 4
242, 15, 233syl 20 . . 3
25 mul2neg 10021 . . . . 5
261, 4, 25sylancr 663 . . . 4
2726fveq2d 5875 . . 3
2824, 27breqtrd 4476 . 2
29 ixi 10203 . . . . . . 7
3029oveq1i 6306 . . . . . 6
31 mulass 9601 . . . . . . 7
321, 1, 31mp3an12 1314 . . . . . 6
33 mulm1 10023 . . . . . 6
3430, 32, 333eqtr3a 2522 . . . . 5
354, 34syl 16 . . . 4
36 sqrtge0 13091 . . . . . 6
37 le0neg2 10086 . . . . . . . 8
38 lenlt 9684 . . . . . . . . 9
3915, 16, 38sylancl 662 . . . . . . . 8
4037, 39bitrd 253 . . . . . . 7
412, 40syl 16 . . . . . 6
4236, 41mpbid 210 . . . . 5
432, 15syl 16 . . . . . . 7
4443biantrurd 508 . . . . . 6
45 elrp 11251 . . . . . 6
4644, 45syl6rbbr 264 . . . . 5
4742, 46mtbird 301 . . . 4
4835, 47eqneltrd 2566 . . 3
49 df-nel 2655 . . 3
5048, 49sylibr 212 . 2
5114, 28, 503jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  e/wnel 2653   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   cmul 9518   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829  2c2 10610   crp 11249   cexp 12166   cre 12930   cim 12931   csqrt 13066
This theorem is referenced by:  sqrtneg  13101  sqreu  13193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068
  Copyright terms: Public domain W3C validator