Theorem squeeze0 10473

Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
squeeze0

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem squeeze0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9617	. . . 4
2		leloe 9692	. . . 4
3	1, 2	mpan 670	. . 3
4		breq2 4456	. . . . . . 7
5		breq2 4456	. . . . . . 7
6	4, 5	imbi12d 320	. . . . . 6
7	6	rspcv 3206	. . . . 5
8		ltnr 9700	. . . . . . . . 9
9	8	pm2.21d 106	. . . . . . . 8
10	9	com12 31	. . . . . . 7
11	10	imim2i 14	. . . . . 6
12	11	com13 80	. . . . 5
13	7, 12	syl5d 67	. . . 4
14		ax-1 6	. . . . . 6
15	14	eqcoms 2469	. . . . 5
16	15	a1i 11	. . . 4
17	13, 16	jaod 380	. . 3
18	3, 17	sylbid 215	. 2
19	18	3imp 1190	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  cr 9512  0cc0 9513  clt 9649  cle 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655