MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssenen Unicode version

Theorem ssenen 7711
Description: Equinumerosity of equinumerous subsets of a set. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ssenen
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ssenen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7545 . . 3
2 f1odm 5825 . . . . . . 7
3 vex 3112 . . . . . . . 8
43dmex 6733 . . . . . . 7
52, 4syl6eqelr 2554 . . . . . 6
6 pwexg 4636 . . . . . 6
7 inex1g 4595 . . . . . 6
85, 6, 73syl 20 . . . . 5
9 f1ofo 5828 . . . . . . . 8
10 forn 5803 . . . . . . . 8
119, 10syl 16 . . . . . . 7
123rnex 6734 . . . . . . 7
1311, 12syl6eqelr 2554 . . . . . 6
14 pwexg 4636 . . . . . 6
15 inex1g 4595 . . . . . 6
1613, 14, 153syl 20 . . . . 5
17 f1of1 5820 . . . . . . . . . . 11
1817adantr 465 . . . . . . . . . 10
1913adantr 465 . . . . . . . . . 10
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10
21 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10
23 f1imaen2g 7596 . . . . . . . . . 10
2418, 19, 20, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
25 entr 7587 . . . . . . . . 9
2624, 25sylan 471 . . . . . . . 8
2726expl 618 . . . . . . 7
28 imassrn 5353 . . . . . . . . 9
2928, 10syl5sseq 3551 . . . . . . . 8
309, 29syl 16 . . . . . . 7
3127, 30jctild 543 . . . . . 6
32 elin 3686 . . . . . . 7
3321elpw 4018 . . . . . . . 8
34 breq1 4455 . . . . . . . . 9
3521, 34elab 3246 . . . . . . . 8
3633, 35anbi12i 697 . . . . . . 7
3732, 36bitri 249 . . . . . 6
38 elin 3686 . . . . . . 7
39 imaexg 6737 . . . . . . . . . 10
403, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9
4140elpw 4018 . . . . . . . 8
42 breq1 4455 . . . . . . . . 9
4340, 42elab 3246 . . . . . . . 8
4441, 43anbi12i 697 . . . . . . 7
4538, 44bitri 249 . . . . . 6
4631, 37, 453imtr4g 270 . . . . 5
47 f1ocnv 5833 . . . . . . 7
48 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . 12
49 f1f1orn 5832 . . . . . . . . . . . 12
50 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . 12
5148, 49, 503syl 20 . . . . . . . . . . 11
52 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
5352f1imaen 7597 . . . . . . . . . . 11
5451, 53sylan 471 . . . . . . . . . 10
55 entr 7587 . . . . . . . . . 10
5654, 55sylan 471 . . . . . . . . 9
5756expl 618 . . . . . . . 8
58 f1ofo 5828 . . . . . . . . 9
59 imassrn 5353 . . . . . . . . . 10
60 forn 5803 . . . . . . . . . 10
6159, 60syl5sseq 3551 . . . . . . . . 9
6258, 61syl 16 . . . . . . . 8
6357, 62jctild 543 . . . . . . 7
6447, 63syl 16 . . . . . 6
65 elin 3686 . . . . . . 7
6652elpw 4018 . . . . . . . 8
67 breq1 4455 . . . . . . . . 9
6852, 67elab 3246 . . . . . . . 8
6966, 68anbi12i 697 . . . . . . 7
7065, 69bitri 249 . . . . . 6
71 elin 3686 . . . . . . 7
723cnvex 6747 . . . . . . . . . 10
73 imaexg 6737 . . . . . . . . . 10
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7574elpw 4018 . . . . . . . 8
76 breq1 4455 . . . . . . . . 9
7774, 76elab 3246 . . . . . . . 8
7875, 77anbi12i 697 . . . . . . 7
7971, 78bitri 249 . . . . . 6
8064, 70, 793imtr4g 270 . . . . 5
81 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
8281elpwid 4022 . . . . . . . . . 10
8365, 82sylbi 195 . . . . . . . . 9
84 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . 12
85 f1orel 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 dfrel2 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8785, 86sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887imaeq1d 5341 . . . . . . . . . . . . . 14
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
9047, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
91 f1imacnv 5837 . . . . . . . . . . . . . 14
9290, 91sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
9389, 92eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . 12
9484, 93sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11
9594eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
9695ex 434 . . . . . . . . 9
9783, 96sylan2 474 . . . . . . . 8
9897adantrl 715 . . . . . . 7
99 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
10099elpwid 4022 . . . . . . . . . 10
10132, 100sylbi 195 . . . . . . . . 9
102 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . 12
103 f1imacnv 5837 . . . . . . . . . . . . 13
10417, 103sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
105102, 104sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11
106105eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
107106ex 434 . . . . . . . . 9
108101, 107sylan2 474 . . . . . . . 8
109108adantrr 716 . . . . . . 7
11098, 109impbid 191 . . . . . 6
111110ex 434 . . . . 5
1128, 16, 46, 80, 111en3d 7572 . . . 4
113112exlimiv 1722 . . 3
1141, 113sylbi 195 . 2
115 df-pw 4014 . . . 4
116115ineq1i 3695 . . 3
117 inab 3765 . . 3
118116, 117eqtri 2486 . 2
119 df-pw 4014 . . . 4
120119ineq1i 3695 . . 3
121 inab 3765 . . 3
122120, 121eqtri 2486 . 2
123114, 118, 1223brtr3g 4483 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Relwrel 5009  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592   cen 7533
This theorem is referenced by:  infmap2  8619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator