Theorem ssenen 7711

Description: Equinumerosity of equinumerous subsets of a set. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ssenen

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ssenen

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 7545	. . 3
2		f1odm 5825	. . . . . . 7
3		vex 3112	. . . . . . . 8
4	3	dmex 6733	. . . . . . 7
5	2, 4	syl6eqelr 2554	. . . . . 6
6		pwexg 4636	. . . . . 6
7		inex1g 4595	. . . . . 6
8	5, 6, 7	3syl 20	. . . . 5
9		f1ofo 5828	. . . . . . . 8
10		forn 5803	. . . . . . . 8
11	9, 10	syl 16	. . . . . . 7
12	3	rnex 6734	. . . . . . 7
13	11, 12	syl6eqelr 2554	. . . . . 6
14		pwexg 4636	. . . . . 6
15		inex1g 4595	. . . . . 6
16	13, 14, 15	3syl 20	. . . . 5
17		f1of1 5820	. . . . . . . . . . 11
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . 10
19	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10
20		simpr 461	. . . . . . . . . 10
21		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10
23		f1imaen2g 7596	. . . . . . . . . 10
24	18, 19, 20, 22, 23	syl22anc 1229	. . . . . . . . 9
25		entr 7587	. . . . . . . . 9
26	24, 25	sylan 471	. . . . . . . 8
27	26	expl 618	. . . . . . 7
28		imassrn 5353	. . . . . . . . 9
29	28, 10	syl5sseq 3551	. . . . . . . 8
30	9, 29	syl 16	. . . . . . 7
31	27, 30	jctild 543	. . . . . 6
32		elin 3686	. . . . . . 7
33	21	elpw 4018	. . . . . . . 8
34		breq1 4455	. . . . . . . . 9
35	21, 34	elab 3246	. . . . . . . 8
36	33, 35	anbi12i 697	. . . . . . 7
37	32, 36	bitri 249	. . . . . 6
38		elin 3686	. . . . . . 7
39		imaexg 6737	. . . . . . . . . 10
40	3, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
41	40	elpw 4018	. . . . . . . 8
42		breq1 4455	. . . . . . . . 9
43	40, 42	elab 3246	. . . . . . . 8
44	41, 43	anbi12i 697	. . . . . . 7
45	38, 44	bitri 249	. . . . . 6
46	31, 37, 45	3imtr4g 270	. . . . 5
47		f1ocnv 5833	. . . . . . 7
48		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . 12
49		f1f1orn 5832	. . . . . . . . . . . 12
50		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . 12
51	48, 49, 50	3syl 20	. . . . . . . . . . 11
52		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
53	52	f1imaen 7597	. . . . . . . . . . 11
54	51, 53	sylan 471	. . . . . . . . . 10
55		entr 7587	. . . . . . . . . 10
56	54, 55	sylan 471	. . . . . . . . 9
57	56	expl 618	. . . . . . . 8
58		f1ofo 5828	. . . . . . . . 9
59		imassrn 5353	. . . . . . . . . 10
60		forn 5803	. . . . . . . . . 10
61	59, 60	syl5sseq 3551	. . . . . . . . 9
62	58, 61	syl 16	. . . . . . . 8
63	57, 62	jctild 543	. . . . . . 7
64	47, 63	syl 16	. . . . . 6
65		elin 3686	. . . . . . 7
66	52	elpw 4018	. . . . . . . 8
67		breq1 4455	. . . . . . . . 9
68	52, 67	elab 3246	. . . . . . . 8
69	66, 68	anbi12i 697	. . . . . . 7
70	65, 69	bitri 249	. . . . . 6
71		elin 3686	. . . . . . 7
72	3	cnvex 6747	. . . . . . . . . 10
73		imaexg 6737	. . . . . . . . . 10
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
75	74	elpw 4018	. . . . . . . 8
76		breq1 4455	. . . . . . . . 9
77	74, 76	elab 3246	. . . . . . . 8
78	75, 77	anbi12i 697	. . . . . . 7
79	71, 78	bitri 249	. . . . . 6
80	64, 70, 79	3imtr4g 270	. . . . 5
81		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
82	81	elpwid 4022	. . . . . . . . . 10
83	65, 82	sylbi 195	. . . . . . . . 9
84		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . 12
85		f1orel 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86		dfrel2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . 16
87	85, 86	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	imaeq1d 5341	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
90	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
91		f1imacnv 5837	. . . . . . . . . . . . . 14
92	90, 91	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13
93	89, 92	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . 12
94	84, 93	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . . . 11
95	94	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10
96	95	ex 434	. . . . . . . . 9
97	83, 96	sylan2 474	. . . . . . . 8
98	97	adantrl 715	. . . . . . 7
99		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
100	99	elpwid 4022	. . . . . . . . . 10
101	32, 100	sylbi 195	. . . . . . . . 9
102		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . 12
103		f1imacnv 5837	. . . . . . . . . . . . 13
104	17, 103	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
105	102, 104	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . . . 11
106	105	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10
107	106	ex 434	. . . . . . . . 9
108	101, 107	sylan2 474	. . . . . . . 8
109	108	adantrr 716	. . . . . . 7
110	98, 109	impbid 191	. . . . . 6
111	110	ex 434	. . . . 5
112	8, 16, 46, 80, 111	en3d 7572	. . . 4
113	112	exlimiv 1722	. . 3
114	1, 113	sylbi 195	. 2
115		df-pw 4014	. . . 4
116	115	ineq1i 3695	. . 3
117		inab 3765	. . 3
118	116, 117	eqtri 2486	. 2
119		df-pw 4014	. . . 4
120	119	ineq1i 3695	. . 3
121		inab 3765	. . 3
122	120, 121	eqtri 2486	. 2
123	114, 118, 122	3brtr3g 4483	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Relwrel 5009  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cen 7533

This theorem is referenced by:  infmap2  8619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537