MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfin4 Unicode version

Theorem ssfin4 8711
Description: Dedekind finite sets have Dedekind finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfin4

Proof of Theorem ssfin4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4
2 pssss 3598 . . . . . . . . 9
3 simpr 461 . . . . . . . . 9
42, 3sylan9ssr 3517 . . . . . . . 8
5 difssd 3631 . . . . . . . 8
64, 5unssd 3679 . . . . . . 7
7 pssnel 3893 . . . . . . . . 9
87adantl 466 . . . . . . . 8
9 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11
10 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
119, 10sseldd 3504 . . . . . . . . . 10
12 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
13 elndif 3627 . . . . . . . . . . . 12
1413ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
15 ioran 490 . . . . . . . . . . . 12
16 elun 3644 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16xchnxbir 309 . . . . . . . . . . 11
1812, 14, 17sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
19 nelneq2 2575 . . . . . . . . . 10
2011, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9
21 eqcom 2466 . . . . . . . . 9
2220, 21sylnib 304 . . . . . . . 8
238, 22exlimddv 1726 . . . . . . 7
24 dfpss2 3588 . . . . . . 7
256, 23, 24sylanbrc 664 . . . . . 6
2625adantrr 716 . . . . 5
27 simprr 757 . . . . . . 7
28 difexg 4600 . . . . . . . 8
29 enrefg 7567 . . . . . . . 8
301, 28, 293syl 20 . . . . . . 7
312ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
32 ssinss1 3725 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9
34 inssdif0 3895 . . . . . . . . 9
3533, 34sylib 196 . . . . . . . 8
36 disjdif 3900 . . . . . . . 8
3735, 36jctir 538 . . . . . . 7
38 unen 7618 . . . . . . 7
3927, 30, 37, 38syl21anc 1227 . . . . . 6
40 simplr 755 . . . . . . 7
41 undif 3908 . . . . . . 7
4240, 41sylib 196 . . . . . 6
4339, 42breqtrd 4476 . . . . 5
44 fin4i 8699 . . . . 5
4526, 43, 44syl2anc 661 . . . 4
461, 45pm2.65da 576 . . 3
4746nexdv 1884 . 2
48 ssexg 4598 . . . 4
4948ancoms 453 . . 3
50 isfin4 8698 . . 3
5149, 50syl 16 . 2
5247, 51mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784   class class class wbr 4452   cen 7533   cfin4 8681
This theorem is referenced by:  domfin4  8712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-en 7537  df-fin4 8688
  Copyright terms: Public domain W3C validator