Theorem ssfin4 8711

Description: Dedekind finite sets have Dedekind finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfin4

Proof of Theorem ssfin4

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . 4
2		pssss 3598	. . . . . . . . 9
3		simpr 461	. . . . . . . . 9
4	2, 3	sylan9ssr 3517	. . . . . . . 8
5		difssd 3631	. . . . . . . 8
6	4, 5	unssd 3679	. . . . . . 7
7		pssnel 3893	. . . . . . . . 9
8	7	adantl 466	. . . . . . . 8
9		simpllr 760	. . . . . . . . . . 11
10		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
11	9, 10	sseldd 3504	. . . . . . . . . 10
12		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
13		elndif 3627	. . . . . . . . . . . 12
14	13	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11
15		ioran 490	. . . . . . . . . . . 12
16		elun 3644	. . . . . . . . . . . 12
17	15, 16	xchnxbir 309	. . . . . . . . . . 11
18	12, 14, 17	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10
19		nelneq2 2575	. . . . . . . . . 10
20	11, 18, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
21		eqcom 2466	. . . . . . . . 9
22	20, 21	sylnib 304	. . . . . . . 8
23	8, 22	exlimddv 1726	. . . . . . 7
24		dfpss2 3588	. . . . . . 7
25	6, 23, 24	sylanbrc 664	. . . . . 6
26	25	adantrr 716	. . . . 5
27		simprr 757	. . . . . . 7
28		difexg 4600	. . . . . . . 8
29		enrefg 7567	. . . . . . . 8
30	1, 28, 29	3syl 20	. . . . . . 7
31	2	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10
32		ssinss1 3725	. . . . . . . . . 10
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . 9
34		inssdif0 3895	. . . . . . . . 9
35	33, 34	sylib 196	. . . . . . . 8
36		disjdif 3900	. . . . . . . 8
37	35, 36	jctir 538	. . . . . . 7
38		unen 7618	. . . . . . 7
39	27, 30, 37, 38	syl21anc 1227	. . . . . 6
40		simplr 755	. . . . . . 7
41		undif 3908	. . . . . . 7
42	40, 41	sylib 196	. . . . . 6
43	39, 42	breqtrd 4476	. . . . 5
44		fin4i 8699	. . . . 5
45	26, 43, 44	syl2anc 661	. . . 4
46	1, 45	pm2.65da 576	. . 3
47	46	nexdv 1884	. 2
48		ssexg 4598	. . . 4
49	48	ancoms 453	. . 3
50		isfin4 8698	. . 3
51	49, 50	syl 16	. 2
52	47, 51	mpbird 232	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784   class class class wbr 4452  cen 7533  cfin4 8681

This theorem is referenced by:  domfin4  8712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-en 7537  df-fin4 8688