Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzoulel Unicode version

Theorem ssfzoulel 11906
 Description: If a half-open integer range is a subset of a half-open range of nonnegative integers, but its lower bound is greater than or equal to the upper bound of the containing range, or its upper bound is less than or equal to 0, then its upper bound is less than or equal to its lower bound (and therefore it is actually empty). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzoulel

Proof of Theorem ssfzoulel
StepHypRef Expression
1 simpl2 1000 . . . . . . 7
2 simpl3 1001 . . . . . . 7
3 zre 10893 . . . . . . . . . 10
4 zre 10893 . . . . . . . . . 10
5 ltnle 9685 . . . . . . . . . 10
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . 9
763adant1 1014 . . . . . . . 8
87biimpar 485 . . . . . . 7
9 ssfzo12 11905 . . . . . . 7
101, 2, 8, 9syl3anc 1228 . . . . . 6
114adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1511, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . 14
1716imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
1817con3d 133 . . . . . . . . . . . 12
1918ex 434 . . . . . . . . . . 11
20193adant1 1014 . . . . . . . . . 10
2120com23 78 . . . . . . . . 9
2221imp 429 . . . . . . . 8
23 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . 14
244, 23, 33anim123i 1181 . . . . . . . . . . . . 13
25243coml 1203 . . . . . . . . . . . 12
26 letr 9699 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11
2827expdimp 437 . . . . . . . . . 10
2928con3d 133 . . . . . . . . 9
3029impancom 440 . . . . . . . 8
3122, 30anim12d 563 . . . . . . 7
32 ioran 490 . . . . . . . 8
33 ancom 450 . . . . . . . 8
3432, 33bitri 249 . . . . . . 7
3531, 34syl6ibr 227 . . . . . 6
3610, 35syld 44 . . . . 5
3736con2d 115 . . . 4
3837impancom 440 . . 3
3938con4d 105 . 2
4039ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   clt 9649   cle 9650   cn0 10820   cz 10889   cfzo 11824 This theorem is referenced by:  swrdvalodm  12665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825
 Copyright terms: Public domain W3C validator