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Theorem ssimaex 5938
Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ssimaex.1
Assertion
Ref Expression
ssimaex
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ssimaex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 5299 . . . . 5
21imaeq2i 5340 . . . 4
3 imadmres 5504 . . . 4
42, 3eqtr3i 2488 . . 3
54sseq2i 3528 . 2
6 ssrab2 3584 . . . 4
7 ssel2 3498 . . . . . . . . 9
87adantll 713 . . . . . . . 8
9 fvelima 5925 . . . . . . . . . . . 12
109ex 434 . . . . . . . . . . 11
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10
12 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15
1713, 16syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . 14
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
2017, 19jcad 533 . . . . . . . . . . . . 13
2120reximdv2 2928 . . . . . . . . . . . 12
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11
23 funfn 5622 . . . . . . . . . . . . 13
24 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15
256, 24sstri 3512 . . . . . . . . . . . . . 14
26 fvelimab 5929 . . . . . . . . . . . . . 14
2725, 26mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13
2823, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
2928adantr 465 . . . . . . . . . . 11
3022, 29sylibrd 234 . . . . . . . . . 10
3111, 30syld 44 . . . . . . . . 9
3231adantlr 714 . . . . . . . 8
338, 32mpd 15 . . . . . . 7
3433ex 434 . . . . . 6
35 fvelima 5925 . . . . . . . . 9
3635ex 434 . . . . . . . 8
37 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
3837biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11
3938adantl 466 . . . . . . . . . 10
4016, 39sylbi 195 . . . . . . . . 9
4140rexlimiv 2943 . . . . . . . 8
4236, 41syl6 33 . . . . . . 7
4342adantr 465 . . . . . 6
4434, 43impbid 191 . . . . 5
4544eqrdv 2454 . . . 4
46 ssimaex.1 . . . . . . 7
4746inex1 4593 . . . . . 6
4847rabex 4603 . . . . 5
49 sseq1 3524 . . . . . 6
50 imaeq2 5338 . . . . . . 7
5150eqeq2d 2471 . . . . . 6
5249, 51anbi12d 710 . . . . 5
5348, 52spcev 3201 . . . 4
546, 45, 53sylancr 663 . . 3
55 inss1 3717 . . . . . 6
56 sstr 3511 . . . . . 6
5755, 56mpan2 671 . . . . 5
5857anim1i 568 . . . 4
5958eximi 1656 . . 3
6054, 59syl 16 . 2
615, 60sylan2br 476 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  ssimaexg  5939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
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