MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnn0fi Unicode version

Theorem ssnn0fi 12094
Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0fi
Distinct variable group:   S, ,

Proof of Theorem ssnn0fi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10835 . . . . . . 7
21a1i 11 . . . . . 6
3 breq1 4455 . . . . . . . . 9
43imbi1d 317 . . . . . . . 8
54ralbidv 2896 . . . . . . 7
65adantl 466 . . . . . 6
7 nnel 2802 . . . . . . . . . 10
8 n0i 3789 . . . . . . . . . 10
97, 8sylbi 195 . . . . . . . . 9
109con4i 130 . . . . . . . 8
1110a1d 25 . . . . . . 7
1211ralrimivw 2872 . . . . . 6
132, 6, 12rspcedvd 3215 . . . . 5
1413a1d 25 . . . 4
1514a1d 25 . . 3
16 ltso 9686 . . . . . . 7
17 id 22 . . . . . . . . 9
18 nn0ssre 10824 . . . . . . . . 9
1917, 18syl6ss 3515 . . . . . . . 8
20193anim3i 1184 . . . . . . 7
21 fisup2g 7947 . . . . . . 7
2216, 20, 21sylancr 663 . . . . . 6
23 simp3 998 . . . . . . 7
24 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2625rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130com24 87 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231imp31 432 . . . . . . . . . . . . . 14
337, 32syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13
3433con4d 105 . . . . . . . . . . . 12
3534ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
3635ex 434 . . . . . . . . . 10
3736adantr 465 . . . . . . . . 9
3837com12 31 . . . . . . . 8
3938reximdva 2932 . . . . . . 7
40 ssrexv 3564 . . . . . . 7
4123, 39, 40sylsyld 56 . . . . . 6
4222, 41mpd 15 . . . . 5
43423exp 1195 . . . 4
4443com3l 81 . . 3
4515, 44pm2.61ine 2770 . 2
46 fzfi 12082 . . . . 5
47 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . 11
4847notbii 296 . . . . . . . . . 10
49 3ianor 990 . . . . . . . . . 10
50 3orass 976 . . . . . . . . . 10
5148, 49, 503bitri 271 . . . . . . . . 9
52 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . 13
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5554con3rr3 136 . . . . . . . . . 10
56 notnot 291 . . . . . . . . . . . 12
57 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14
6160a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13
62 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 neleq1 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6462, 63imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
67 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
68 ltnle 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6966, 67, 68syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
70 df-nel 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7269, 71imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7372biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7473ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7675com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7865, 77mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
8281com13 80 . . . . . . . . . . . . 13
8361, 82jaoi 379 . . . . . . . . . . . 12
8456, 83syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11
8584impcom 430 . . . . . . . . . 10
8655, 85jaoi3 969 . . . . . . . . 9
8751, 86sylbi 195 . . . . . . . 8
8887com12 31 . . . . . . 7
8988con4d 105 . . . . . 6
9089ssrdv 3509 . . . . 5
91 ssfi 7760 . . . . 5
9246, 90, 91sylancr 663 . . . 4
9392ex 434 . . 3
9493rexlimdva 2949 . 2
9545, 94impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  Orwor 4804  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513   clt 9649   cle 9650   cn0 10820   cfz 11701
This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator