Theorem ssxr 9675

Description: The three (non-exclusive) possibilities implied by a subset of extended reals. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssxr

Proof of Theorem ssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4032	. . . . . . 7
2	1	ineq2i 3696	. . . . . 6
3		indi 3743	. . . . . 6
4	2, 3	eqtri 2486	. . . . 5
5		disjsn 4090	. . . . . . . 8
6		disjsn 4090	. . . . . . . 8
7	5, 6	anbi12i 697	. . . . . . 7
8	7	biimpri 206	. . . . . 6
9		pm4.56 495	. . . . . 6
10		un00 3862	. . . . . 6
11	8, 9, 10	3imtr3i 265	. . . . 5
12	4, 11	syl5eq 2510	. . . 4
13		reldisj 3870	. . . . 5
14		renfdisj 9668	. . . . . . . 8
15		disj3 3871	. . . . . . . 8
16	14, 15	mpbi 208	. . . . . . 7
17		difun2 3907	. . . . . . 7
18	16, 17	eqtr4i 2489	. . . . . 6
19	18	sseq2i 3528	. . . . 5
20	13, 19	syl6bbr 263	. . . 4
21	12, 20	syl5ib 219	. . 3
22	21	orrd 378	. 2
23		df-xr 9653	. . 3
24	23	sseq2i 3528	. 2
25		3orrot 979	. . 3
26		df-3or 974	. . 3
27	25, 26	bitri 249	. 2
28	22, 24, 27	3imtr4i 266	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  cr 9512  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648

This theorem is referenced by:  xrsupss  11529  xrinfmss  11530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653