Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Unicode version

Theorem stoweidlem43 30572
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1
stoweidlem43.2
stoweidlem43.3
stoweidlem43.4
stoweidlem43.5
stoweidlem43.6
stoweidlem43.7
stoweidlem43.8
stoweidlem43.9
stoweidlem43.10
stoweidlem43.11
stoweidlem43.12
stoweidlem43.13
stoweidlem43.14
stoweidlem43.15
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,,,,   Q,   S,,,,   ,,,,   ,,   ,   S,   ,   ,   S,   ,   ,   ,S   ,   ,

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3
2 nfv 1674 . . 3
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6
43eldifad 3454 . . . . 5
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7
7 elunii 4213 . . . . . . 7
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6
108, 9syl6eleqr 2553 . . . . 5
113eldifbd 3455 . . . . . . 7
12 nelne2 2783 . . . . . . 7
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6
1413necomd 2724 . . . . 5
154, 10, 143jca 1168 . . . 4
16 simpr2 995 . . . . . 6
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9
18 nfv 1674 . . . . . . . . 9
1917, 18nfan 1866 . . . . . . . 8
20 nfv 1674 . . . . . . . 8
2119, 20nfim 1858 . . . . . . 7
22 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10
23 neeq2 2736 . . . . . . . . . 10
2422, 233anbi23d 1293 . . . . . . . . 9
2524anbi2d 703 . . . . . . . 8
26 fveq2 5813 . . . . . . . . . 10
2726neeq2d 2731 . . . . . . . . 9
2827rexbidv 2875 . . . . . . . 8
2925, 28imbi12d 320 . . . . . . 7
30 simpr1 994 . . . . . . . 8
31 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12
32 neeq1 2734 . . . . . . . . . . . 12
3331, 323anbi13d 1292 . . . . . . . . . . 11
3433anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . 12
3635neeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11
3736rexbidv 2875 . . . . . . . . . 10
3834, 37imbi12d 320 . . . . . . . . 9
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
4138, 40vtoclga 3145 . . . . . . . 8
4230, 41mpcom 36 . . . . . . 7
4321, 29, 42vtoclg1f 3138 . . . . . 6
4416, 43mpcom 36 . . . . 5
45 df-rex 2806 . . . . 5
4644, 45sylib 196 . . . 4
4715, 46mpdan 668 . . 3
48 nfv 1674 . . . . . 6
4917, 48nfan 1866 . . . . 5
50 nfcv 2616 . . . . 5
51 eqid 2454 . . . . 5
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7
53 eqid 2454 . . . . . . 7
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8
5554sselda 3470 . . . . . . 7
5652, 9, 53, 55fcnre 30207 . . . . . 6
5756adantlr 714 . . . . 5
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6
59583adant1r 1212 . . . . 5
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6
6160adantlr 714 . . . . 5
624adantr 465 . . . . 5
6310adantr 465 . . . . 5
64 simprl 755 . . . . 5
65 simprr 756 . . . . 5
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 30552 . . . 4
67 eleq1 2526 . . . . . . . 8
68 fveq1 5812 . . . . . . . . 9
69 fveq1 5812 . . . . . . . . 9
7068, 69neeq12d 2732 . . . . . . . 8
7169eqeq1d 2456 . . . . . . . 8
7267, 70, 713anbi123d 1290 . . . . . . 7
7372spcegv 3167 . . . . . 6
74733ad2ant1 1009 . . . . 5
7574pm2.43i 47 . . . 4
7666, 75syl 16 . . 3
771, 2, 47, 76exlimdd 1920 . 2
78 stoweidlem43.3 . . . . 5
79 nfmpt1 4498 . . . . 5
80 nfcv 2616 . . . . 5
81 nfcv 2616 . . . . 5
82 nfv 1674 . . . . . 6
8317, 82nfan 1866 . . . . 5
84 stoweidlem43.5 . . . . 5
85 fveq2 5813 . . . . . . 7
8685, 85oveq12d 6240 . . . . . 6
8786cbvmptv 4500 . . . . 5
88 eqid 2454 . . . . 5
89 eqid 2454 . . . . 5
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6
9190adantr 465 . . . . 5
9254adantr 465 . . . . 5
93 eleq1 2526 . . . . . . . . 9
94933anbi2d 1295 . . . . . . . 8
95 fveq1 5812 . . . . . . . . . . 11
9695oveq1d 6237 . . . . . . . . . 10
9796mpteq2dv 4496 . . . . . . . . 9
9897eleq1d 2523 . . . . . . . 8
9994, 98imbi12d 320 . . . . . . 7
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7
10199, 100chvarv 1970 . . . . . 6
1021013adant1r 1212 . . . . 5
10360adantlr 714 . . . . 5
1044adantr 465 . . . . 5
10510adantr 465 . . . . 5
106 simpr1 994 . . . . 5
107 simpr2 995 . . . . 5
108 simpr3 996 . . . . 5
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 30565 . . . 4
110109ex 434 . . 3
111110exlimdv 1691 . 2
11277, 111mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  E.wex 1587  F/wnf 1590  e.wcel 1758  F/_wnfc 2602  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801  {crab 2804  \cdif 3439  C_wss 3442  U.cuni 4208   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  rancrn 4958  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222  supcsup 7826   cr 9418  0cc0 9419  1`c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cmin 9732   cdiv 10130   cioo 11439   ctg 14535   ccn 19227   ccmp 19388 This theorem is referenced by:  stoweidlem46  30575 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-mulf 9499 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-cmp 19389  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296
 Copyright terms: Public domain W3C validator