Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Unicode version

Theorem stoweidlem43 30572
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1
stoweidlem43.2
stoweidlem43.3
stoweidlem43.4
stoweidlem43.5
stoweidlem43.6
stoweidlem43.7
stoweidlem43.8
stoweidlem43.9
stoweidlem43.10
stoweidlem43.11
stoweidlem43.12
stoweidlem43.13
stoweidlem43.14
stoweidlem43.15
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43
Distinct variable groups:   , , , ,   , , ,   ,   , , , ,   , , , ,   Q,   S, , , ,   , , , ,   , ,   ,   S,   ,   ,   S,   ,   ,   ,S   ,   ,

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3
2 nfv 1674 . . 3
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6
43eldifad 3454 . . . . 5
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7
7 elunii 4213 . . . . . . 7
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6
108, 9syl6eleqr 2553 . . . . 5
113eldifbd 3455 . . . . . . 7
12 nelne2 2783 . . . . . . 7
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6
1413necomd 2724 . . . . 5
154, 10, 143jca 1168 . . . 4
16 simpr2 995 . . . . . 6
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9
18 nfv 1674 . . . . . . . . 9
1917, 18nfan 1866 . . . . . . . 8
20 nfv 1674 . . . . . . . 8
2119, 20nfim 1858 . . . . . . 7
22 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10
23 neeq2 2736 . . . . . . . . . 10
2422, 233anbi23d 1293 . . . . . . . . 9
2524anbi2d 703 . . . . . . . 8
26 fveq2 5813 . . . . . . . . . 10
2726neeq2d 2731 . . . . . . . . 9
2827rexbidv 2875 . . . . . . . 8
2925, 28imbi12d 320 . . . . . . 7
30 simpr1 994 . . . . . . . 8
31 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12
32 neeq1 2734 . . . . . . . . . . . 12
3331, 323anbi13d 1292 . . . . . . . . . . 11
3433anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . 12
3635neeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11
3736rexbidv 2875 . . . . . . . . . 10
3834, 37imbi12d 320 . . . . . . . . 9
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
4138, 40vtoclga 3145 . . . . . . . 8
4230, 41mpcom 36 . . . . . . 7
4321, 29, 42vtoclg1f 3138 . . . . . 6
4416, 43mpcom 36 . . . . 5
45 df-rex 2806 . . . . 5
4644, 45sylib 196 . . . 4
4715, 46mpdan 668 . . 3
48 nfv 1674 . . . . . 6
4917, 48nfan 1866 . . . . 5
50 nfcv 2616 . . . . 5
51 eqid 2454 . . . . 5
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7
53 eqid 2454 . . . . . . 7
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8
5554sselda 3470 . . . . . . 7
5652, 9, 53, 55fcnre 30207 . . . . . 6
5756adantlr 714 . . . . 5
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6
59583adant1r 1212 . . . . 5
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6
6160adantlr 714 . . . . 5
624adantr 465 . . . . 5
6310adantr 465 . . . . 5
64 simprl 755 . . . . 5
65 simprr 756 . . . . 5
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 30552 . . . 4
67 eleq1 2526 . . . . . . . 8
68 fveq1 5812 . . . . . . . . 9
69 fveq1 5812 . . . . . . . . 9
7068, 69neeq12d 2732 . . . . . . . 8
7169eqeq1d 2456 . . . . . . . 8
7267, 70, 713anbi123d 1290 . . . . . . 7
7372spcegv 3167 . . . . . 6
74733ad2ant1 1009 . . . . 5
7574pm2.43i 47 . . . 4
7666, 75syl 16 . . 3
771, 2, 47, 76exlimdd 1920 . 2
78 stoweidlem43.3 . . . . 5
79 nfmpt1 4498 . . . . 5
80 nfcv 2616 . . . . 5
81 nfcv 2616 . . . . 5
82 nfv 1674 . . . . . 6
8317, 82nfan 1866 . . . . 5
84 stoweidlem43.5 . . . . 5
85 fveq2 5813 . . . . . . 7
8685, 85oveq12d 6240 . . . . . 6
8786cbvmptv 4500 . . . . 5
88 eqid 2454 . . . . 5
89 eqid 2454 . . . . 5
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6
9190adantr 465 . . . . 5
9254adantr 465 . . . . 5
93 eleq1 2526 . . . . . . . . 9
94933anbi2d 1295 . . . . . . . 8
95 fveq1 5812 . . . . . . . . . . 11
9695oveq1d 6237 . . . . . . . . . 10
9796mpteq2dv 4496 . . . . . . . . 9
9897eleq1d 2523 . . . . . . . 8
9994, 98imbi12d 320 . . . . . . 7
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7
10199, 100chvarv 1970 . . . . . 6
1021013adant1r 1212 . . . . 5
10360adantlr 714 . . . . 5
1044adantr 465 . . . . 5
10510adantr 465 . . . . 5
106 simpr1 994 . . . . 5
107 simpr2 995 . . . . 5
108 simpr3 996 . . . . 5
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 30565 . . . 4
110109ex 434 . . 3
111110exlimdv 1691 . 2
11277, 111mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  E.wex 1587  F/wnf 1590  e.wcel 1758  F/_wnfc 2602  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801  {crab 2804  \cdif 3439  C_wss 3442  U.cuni 4208   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  rancrn 4958  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  supcsup 7826   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cmin 9732   cdiv 10130   cioo 11439   ctg 14535   ccn 19227   ccmp 19388
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  30575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-cmp 19389  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296
  Copyright terms: Public domain W3C validator