Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Unicode version

Theorem stoweidlem43 29512
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1
stoweidlem43.2
stoweidlem43.3
stoweidlem43.4
stoweidlem43.5
stoweidlem43.6
stoweidlem43.7
stoweidlem43.8
stoweidlem43.9
stoweidlem43.10
stoweidlem43.11
stoweidlem43.12
stoweidlem43.13
stoweidlem43.14
stoweidlem43.15
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43
Distinct variable groups:   , , , ,   , , ,   ,   , , , ,   , , , ,   Q,   S, , , ,   , , , ,   , ,   ,   S,   ,   ,   S,   ,   ,   ,S   ,   ,

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3
2 nfv 1664 . . 3
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6
43eldifad 3317 . . . . 5
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7
7 elunii 4071 . . . . . . 7
85, 6, 7syl2anc 646 . . . . . 6
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6
108, 9syl6eleqr 2513 . . . . 5
113eldifbd 3318 . . . . . . 7
12 nelne2 2681 . . . . . . 7
135, 11, 12syl2anc 646 . . . . . 6
1413necomd 2674 . . . . 5
154, 10, 143jca 1153 . . . 4
16 simpr2 980 . . . . . 6
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9
18 nfv 1664 . . . . . . . . 9
1917, 18nfan 1851 . . . . . . . 8
20 nfv 1664 . . . . . . . 8
2119, 20nfim 1843 . . . . . . 7
22 eleq1 2482 . . . . . . . . . 10
23 neeq2 2596 . . . . . . . . . 10
2422, 233anbi23d 1277 . . . . . . . . 9
2524anbi2d 688 . . . . . . . 8
26 fveq2 5661 . . . . . . . . . 10
2726neeq2d 2601 . . . . . . . . 9
2827rexbidv 2715 . . . . . . . 8
2925, 28imbi12d 314 . . . . . . 7
30 simpr1 979 . . . . . . . 8
31 eleq1 2482 . . . . . . . . . . . 12
32 neeq1 2595 . . . . . . . . . . . 12
3331, 323anbi13d 1276 . . . . . . . . . . 11
3433anbi2d 688 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . 12
3635neeq1d 2600 . . . . . . . . . . 11
3736rexbidv 2715 . . . . . . . . . 10
3834, 37imbi12d 314 . . . . . . . . 9
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
4138, 40vtoclga 3014 . . . . . . . 8
4230, 41mpcom 35 . . . . . . 7
4321, 29, 42vtoclg1f 3007 . . . . . 6
4416, 43mpcom 35 . . . . 5
45 df-rex 2700 . . . . 5
4644, 45sylib 190 . . . 4
4715, 46mpdan 653 . . 3
48 nfv 1664 . . . . . 6
4917, 48nfan 1851 . . . . 5
50 nfcv 2558 . . . . 5
51 eqid 2422 . . . . 5
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7
53 eqid 2422 . . . . . . 7
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8
5554sselda 3333 . . . . . . 7
5652, 9, 53, 55fcnre 29420 . . . . . 6
5756adantlr 699 . . . . 5
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6
59583adant1r 1196 . . . . 5
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6
6160adantlr 699 . . . . 5
624adantr 455 . . . . 5
6310adantr 455 . . . . 5
64 simprl 740 . . . . 5
65 simprr 741 . . . . 5
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 29492 . . . 4
67 eleq1 2482 . . . . . . . 8
68 fveq1 5660 . . . . . . . . 9
69 fveq1 5660 . . . . . . . . 9
7068, 69neeq12d 2602 . . . . . . . 8
7169eqeq1d 2430 . . . . . . . 8
7267, 70, 713anbi123d 1274 . . . . . . 7
7372spcegv 3036 . . . . . 6
74733ad2ant1 994 . . . . 5
7574pm2.43i 46 . . . 4
7666, 75syl 16 . . 3
771, 2, 47, 76exlimdd 1898 . 2
78 stoweidlem43.3 . . . . 5
79 nfmpt1 4356 . . . . 5
80 nfcv 2558 . . . . 5
81 nfcv 2558 . . . . 5
82 nfv 1664 . . . . . 6
8317, 82nfan 1851 . . . . 5
84 stoweidlem43.5 . . . . 5
85 fveq2 5661 . . . . . . 7
8685, 85oveq12d 6079 . . . . . 6
8786cbvmptv 4358 . . . . 5
88 eqid 2422 . . . . 5
89 eqid 2422 . . . . 5
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6
9190adantr 455 . . . . 5
9254adantr 455 . . . . 5
93 eleq1 2482 . . . . . . . . 9
94933anbi2d 1279 . . . . . . . 8
95 fveq1 5660 . . . . . . . . . . 11
9695oveq1d 6076 . . . . . . . . . 10
9796mpteq2dv 4354 . . . . . . . . 9
9897eleq1d 2488 . . . . . . . 8
9994, 98imbi12d 314 . . . . . . 7
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7
10199, 100chvarv 1949 . . . . . 6
1021013adant1r 1196 . . . . 5
10360adantlr 699 . . . . 5
1044adantr 455 . . . . 5
10510adantr 455 . . . . 5
106 simpr1 979 . . . . 5
107 simpr2 980 . . . . 5
108 simpr3 981 . . . . 5
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 29505 . . . 4
110109ex 427 . . 3
111110exlimdv 1681 . 2
11277, 111mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  E.wex 1581  F/wnf 1584  =wceq 1687  e.wcel 1749  F/_wnfc 2545  =/=wne 2585  A.wral 2694  E.wrex 2695  {crab 2698  \cdif 3302  C_wss 3305  U.cuni 4066   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  rancrn 4812  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  supcsup 7637   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cle 9365   cmin 9541   cdiv 9939   cioo 11245   ctg 14316   ccn 18532   ccmp 18693
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  29515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-cmp 18694  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597
  Copyright terms: Public domain W3C validator