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Theorem stoweidlem51 30580
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here is used to represent in the paper, because here is used for the subalgebra of functions. is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1
stoweidlem51.2
stoweidlem51.3
stoweidlem51.4
stoweidlem51.5
stoweidlem51.6
stoweidlem51.7
stoweidlem51.8
stoweidlem51.9
stoweidlem51.10
stoweidlem51.11
stoweidlem51.12
stoweidlem51.13
stoweidlem51.14
stoweidlem51.15
stoweidlem51.16
stoweidlem51.17
stoweidlem51.18
stoweidlem51.19
stoweidlem51.20
stoweidlem51.21
stoweidlem51.22
stoweidlem51.23
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51
Distinct variable groups:   , , , ,   , ,M, ,   , ,   , , , ,   , , , ,   , ,   , ,   ,M   , ,   ,   ,   ,   ,   , ,   , ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . 4
2 ssrab2 3551 . . . 4
31, 2eqsstri 3500 . . 3
4 stoweidlem51.6 . . . 4
5 stoweidlem51.7 . . . 4
6 1zzd 10815 . . . . . 6
7 stoweidlem51.10 . . . . . . 7
87nnzd 10884 . . . . . 6
96, 8, 83jca 1168 . . . . 5
107nnge1d 10502 . . . . . 6
117nnred 10475 . . . . . . 7
1211leidd 10043 . . . . . 6
1310, 12jca 532 . . . . 5
14 elfz2 11589 . . . . 5
159, 13, 14sylanbrc 664 . . . 4
16 stoweidlem51.12 . . . 4
17 stoweidlem51.2 . . . . 5
18 eqid 2454 . . . . 5
19 stoweidlem51.20 . . . . 5
20 stoweidlem51.19 . . . . 5
2117, 1, 18, 19, 20stoweidlem16 30545 . . . 4
22 stoweidlem51.21 . . . 4
234, 5, 15, 16, 21, 22fmulcl 30360 . . 3
243, 23sseldi 3468 . 2
251eleq2i 2532 . . . . . . 7
26 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11
27 nfrab1 3010 . . . . . . . . . . . . . 14
281, 27nfcxfr 2614 . . . . . . . . . . . . 13
29 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 28, 29nfmpt2 6287 . . . . . . . . . . . 12
314, 30nfcxfr 2614 . . . . . . . . . . 11
32 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11
3326, 31, 32nfseq 11973 . . . . . . . . . 10
34 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10
3533, 34nffv 5820 . . . . . . . . 9
365, 35nfcxfr 2614 . . . . . . . 8
37 nfcv 2616 . . . . . . . 8
38 nfcv 2616 . . . . . . . . 9
39 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11
40 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11
41 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12
4236, 41nffv 5820 . . . . . . . . . . 11
4339, 40, 42nfbr 4453 . . . . . . . . . 10
4442, 40, 26nfbr 4453 . . . . . . . . . 10
4543, 44nfan 1866 . . . . . . . . 9
4638, 45nfral 2889 . . . . . . . 8
47 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13
48 nfra1 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5048, 49nfrab 3011 . . . . . . . . . . . . . . . 16
511, 50nfcxfr 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 nfmpt1 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15
5351, 51, 52nfmpt2 6287 . . . . . . . . . . . . . 14
544, 53nfcxfr 2614 . . . . . . . . . . . . 13
55 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13
5647, 54, 55nfseq 11973 . . . . . . . . . . . 12
57 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57nffv 5820 . . . . . . . . . . 11
595, 58nfcxfr 2614 . . . . . . . . . 10
6059nfeq2 2633 . . . . . . . . 9
61 fveq1 5812 . . . . . . . . . . 11
6261breq2d 4421 . . . . . . . . . 10
6361breq1d 4419 . . . . . . . . . 10
6462, 63anbi12d 710 . . . . . . . . 9
6560, 64ralbid 2844 . . . . . . . 8
6636, 37, 46, 65elrabf 3225 . . . . . . 7
6725, 66bitri 249 . . . . . 6
6823, 67sylib 196 . . . . 5
6968simprd 463 . . . 4
70 stoweidlem51.1 . . . . 5
71 stoweidlem51.8 . . . . 5
72 stoweidlem51.9 . . . . 5
73 stoweidlem51.11 . . . . 5
74 stoweidlem51.14 . . . . 5
75 stoweidlem51.15 . . . . 5
76 nfv 1674 . . . . . . 7
7717, 76nfan 1866 . . . . . 6
7816fnvinran 30196 . . . . . . . . . . . 12
79 fveq1 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8079breq2d 4421 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179breq1d 4419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382ralbidv 2847 . . . . . . . . . . . . . 14
8483, 1elrab2 3229 . . . . . . . . . . . . 13
8584simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12
8678, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11
87 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
89 feq1 5662 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
9119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
9290, 91vtoclga 3145 . . . . . . . . . . . 12
9392anabsi7 815 . . . . . . . . . . 11
9486, 93syldan 470 . . . . . . . . . 10
9594adantr 465 . . . . . . . . 9
9673fnvinran 30196 . . . . . . . . . . 11
97 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
9897, 96jca 532 . . . . . . . . . . 11
99 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . 14
100 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100nfel2 2634 . . . . . . . . . . . . . 14
10299, 101nfan 1866 . . . . . . . . . . . . 13
103 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . 13
104102, 103nfim 1858 . . . . . . . . . . . 12
105 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
106105anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13
107 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . 13
108106, 107imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
109 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . 12
110104, 108, 109vtoclg1f 3138 . . . . . . . . . . 11
11196, 98, 110sylc 60 . . . . . . . . . 10
112111sselda 3470 . . . . . . . . 9
11395, 112ffvelrnd 5967 . . . . . . . 8
114 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . 11
115114rpred 11166 . . . . . . . . . 10
116115ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
11711ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
1187nnne0d 10504 . . . . . . . . . 10
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
120116, 117, 119redivcld 10296 . . . . . . . 8
121 stoweidlem51.17 . . . . . . . . 9
122121r19.21bi 2922 . . . . . . . 8
123 1red 9538 . . . . . . . . . . . 12
124 0lt1 9999 . . . . . . . . . . . . 13
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
1267nngt0d 10503 . . . . . . . . . . . 12
127114rpregt0d 11172 . . . . . . . . . . . 12
128 lediv2 10359 . . . . . . . . . . . 12
129123, 125, 11, 126, 127, 128syl221anc 1230 . . . . . . . . . . 11
13010, 129mpbid 210 . . . . . . . . . 10
131114rpcnd 11168 . . . . . . . . . . 11
132131div1d 10236 . . . . . . . . . 10
133130, 132breqtrd 4433 . . . . . . . . 9
134133ad2antrr 725 . . . . . . . 8
135113, 120, 116, 122, 134ltletrd 9668 . . . . . . 7
136135ex 434 . . . . . 6
13777, 136ralrimi 2824 . . . . 5
13870, 17, 1, 4, 5, 71, 72, 7, 73, 16, 74, 75, 137, 22, 19, 20, 114stoweidlem48 30577 . . . 4
139 stoweidlem51.18 . . . . 5
140 stoweidlem51.23 . . . . 5
1413sseli 3466 . . . . . 6
142141, 19sylan2 474 . . . . 5
143 stoweidlem51.16 . . . . 5
14470, 17, 51, 4, 5, 71, 72, 7, 16, 139, 114, 140, 142, 21, 22, 143stoweidlem42 30571 . . . 4
14569, 138, 1443jca 1168 . . 3
14624, 145jca 532 . 2
147 eleq1 2526 . . . 4
14859nfeq2 2633 . . . . . 6
149 fveq1 5812 . . . . . . . 8
150149breq2d 4421 . . . . . . 7
151149breq1d 4419 . . . . . . 7
152150, 151anbi12d 710 . . . . . 6
153148, 152ralbid 2844 . . . . 5
154149breq1d 4419 . . . . . 6
155148, 154ralbid 2844 . . . . 5
156149breq2d 4421 . . . . . 6
157148, 156ralbid 2844 . . . . 5
158153, 155, 1573anbi123d 1290 . . . 4
159147, 158anbi12d 710 . . 3
160159spcegv 3167 . 2
16124, 146, 160sylc 60 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  E.wex 1587  F/wnf 1590  e.wcel 1758  F/_wnfc 2602  =/=wne 2648  A.wral 2800  {crab 2804   cvv 3081  C_wss 3442  U.cuni 4208   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  rancrn 4958  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cmin 9732   cdiv 10130   cn 10460  3c3 10510   cz 10784   crp 11130   cfz 11582  seqcseq 11963
This theorem is referenced by:  stoweidlem54  30583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-rp 11131  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023
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