MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcl Unicode version

Theorem subcl 9842
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl

Proof of Theorem subcl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 9834 . 2
2 negeu 9833 . . . 4
32ancoms 453 . . 3
4 riotacl 6272 . . 3
53, 4syl 16 . 2
61, 5eqeltrd 2545 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!wreu 2809  iota_crio 6256  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmin 9828
This theorem is referenced by:  negcl  9843  subf  9845  pncan3  9851  npcan  9852  addsubass  9853  addsub  9854  addsub12  9856  addsubeq4  9858  npncan  9863  nppcan  9864  nnpcan  9865  nppcan3  9866  subcan2  9867  subsub2  9870  subsub4  9875  nnncan  9877  nnncan1  9878  nnncan2  9879  npncan3  9880  addsub4  9885  subadd4  9886  peano2cnm  9908  subcli  9918  subcld  9954  subeqrev  10007  subdi  10015  subdir  10016  mulsub2  10025  recextlem1  10204  recex  10206  mulcan1g  10227  div2sub  10394  cju  10557  halfaddsubcl  10796  halfaddsub  10797  uzindOLD  10982  iccf1o  11693  sersub  12150  sqsubswap  12229  subsq  12275  subsq2  12276  bcn2  12397  swrdccatin12lem2b  12711  swrdccatin12lem2  12714  shftval2  12908  2shfti  12913  sqabssub  13116  abssub  13159  abs3dif  13164  abs2dif  13165  abs2difabs  13167  climuni  13375  cjcn2  13422  recn2  13423  imcn2  13424  o1sub  13438  climsub  13456  caucvgr  13498  iseralt  13507  fsum0diag2  13598  arisum2  13672  geoserg  13677  geolim  13679  geolim2  13680  georeclim  13681  geo2sum  13682  geoisum1c  13689  tanadd  13902  addsin  13905  fzocongeq  14040  odd2np1  14046  divalglem9  14059  phiprm  14307  pythagtriplem4  14343  pythagtriplem12  14350  pythagtriplem14  14352  pythagtriplem16  14354  fldivp1  14416  4sqlem19  14481  vdwapun  14492  vdwlem6  14504  xrsdsreclb  18465  cnmet  21279  icccvx  21450  reparphti  21497  pcorevlem  21526  cncmet  21761  dveflem  22380  dvef  22381  dv11cn  22402  coeeulem  22621  geolim3  22735  abelthlem2  22827  abelthlem7  22833  efimpi  22884  ptolemy  22889  tangtx  22898  abssinper  22911  cosne0  22917  tanregt0  22926  eflogeq  22986  logneg2  23000  advlogexp  23036  logtayl  23041  logtayl2  23043  ang180lem1  23141  ang180lem2  23142  ang180lem3  23143  lawcos  23148  pythag  23149  isosctrlem1  23152  isosctrlem2  23153  asinlem  23199  asinlem2  23200  asinlem3a  23201  asinlem3  23202  asinf  23203  acosf  23205  atanf  23211  asinneg  23217  efiasin  23219  sinasin  23220  asinsin  23223  acoscos  23224  asinbnd  23230  cosasin  23235  atanneg  23238  atancj  23241  efiatan  23243  atanlogaddlem  23244  atanlogadd  23245  atanlogsublem  23246  atanlogsub  23247  efiatan2  23248  2efiatan  23249  cosatan  23252  atantan  23254  atanbndlem  23256  atans2  23262  dvatan  23266  atantayl  23268  atantayl2  23269  birthdaylem2  23282  scvxcvx  23315  basellem8  23361  1sgm2ppw  23475  logfacbnd3  23498  logfacrlim  23499  perfect1  23503  dchrsum2  23543  sumdchr2  23545  bposlem9  23567  lgsquad2  23635  rplogsumlem1  23669  dchrmusum2  23679  log2sumbnd  23729  pntrsumo1  23750  brbtwn2  24208  colinearalg  24213  axcgrid  24219  axsegconlem1  24220  ax5seglem1  24231  ax5seglem2  24232  ax5seglem3  24234  ax5seglem5  24236  ax5seglem9  24240  axbtwnid  24242  axeuclidlem  24265  axcontlem2  24268  axcontlem4  24270  axcontlem7  24273  axcontlem8  24274  hvmulcan2  25990  subfacp1lem6  28629  cvxscon  28688  rescon  28691  sinccvglem  29038  fallfacval2  29133  fallfacval3  29134  fallfaccl  29138  risefallfac  29146  fallfacp1  29152  0fallfac  29159  binomfallfaclem2  29162  bpoly2  29819  bpoly3  29820  fsumcube  29822  sin2h  30045  tan2h  30047  itg2addnclem3  30068  ftc1anclem4  30093  ftc1anclem5  30094  ftc1anclem6  30095  ftc1anclem7  30096  ftc1anc  30098  dvasin  30103  dvacos  30104  rmspecsqrtnq  30842  jm2.17a  30898  acongeq  30921  jm2.27c  30949  lhe4.4ex1a  31234  dvconstbi  31239  abssubrp  31457  cnambpcma  32315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830
  Copyright terms: Public domain W3C validator