MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Unicode version

Theorem subdid 10037
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1
mulnegd.2
subdid.3
Assertion
Ref Expression
subdid

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2
2 mulnegd.2 . 2
3 subdid.3 . 2
4 subdi 10015 . 2
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511   cmul 9518   cmin 9828
This theorem is referenced by:  recextlem1  10204  cru  10553  cju  10557  zneo  10970  qbtwnre  11427  lincmb01cmp  11692  iccf1o  11693  intfracq  11986  modlt  12006  moddi  12054  modsubdir  12055  subsq  12275  expmulnbnd  12298  crre  12947  remullem  12961  mulcn2  13418  iseraltlem3  13506  fsumparts  13620  geoserg  13677  mertens  13695  tanval3  13869  tanadd  13902  eirrlem  13937  3dvds  14050  bezoutlem3  14178  eulerthlem2  14312  prmdiv  14315  prmdiveq  14316  4sqlem10  14465  mul4sqlem  14471  4sqlem17  14479  blcvx  21303  icopnfhmeo  21443  pcoass  21524  pjthlem1  21852  itgmulc2lem2  22239  dvmulbr  22342  cmvth  22392  dvcvx  22421  dvfsumle  22422  dvfsumabs  22424  dvfsumlem2  22428  aaliou3lem8  22741  abelthlem2  22827  tangtx  22898  tanregt0  22926  efif1olem2  22930  efif1olem4  22932  ang180lem5  23145  isosctrlem2  23153  isosctrlem3  23154  affineequiv  23157  heron  23169  dcubic1  23176  dquart  23184  quartlem1  23188  asinsin  23223  efiatan  23243  atanlogsublem  23246  efiatan2  23248  2efiatan  23249  tanatan  23250  atantayl2  23269  wilthlem2  23343  ftalem5  23350  basellem3  23356  basellem5  23358  logfaclbnd  23497  bposlem1  23559  lgseisenlem2  23625  lgsquadlem1  23629  2sqlem4  23642  vmadivsum  23667  rplogsumlem1  23669  dchrmusum2  23679  dchrvmasumiflem2  23687  rpvmasum2  23697  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  rplogsum  23712  mulogsumlem  23716  mulogsum  23717  mulog2sumlem1  23719  mulog2sumlem2  23720  mulog2sumlem3  23721  vmalogdivsum2  23723  vmalogdivsum  23724  2vmadivsumlem  23725  logsqvma  23727  selberglem1  23730  selberglem2  23731  selberg2lem  23735  chpdifbndlem1  23738  selberg3lem1  23742  selberg4lem1  23745  selberg4  23746  pntrsumo1  23750  selbergr  23753  selberg3r  23754  selberg4r  23755  selberg34r  23756  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766  pntrlog2bndlem6  23768  pntlemo  23792  ttgcontlem1  24188  brbtwn2  24208  colinearalglem1  24209  axcontlem8  24274  pjhthlem1  26309  2sqmod  27636  lgamgulmlem2  28572  lgamgulmlem3  28573  muls1d  29119  bpolydiflem  29816  bpoly4  29821  fsumcube  29822  itgmulc2nclem2  30082  areacirclem1  30107  areacirclem4  30110  areacirc  30112  cntotbnd  30292  irrapxlem2  30759  irrapxlem3  30760  irrapxlem5  30762  pellexlem6  30770  pell1qrgaplem  30809  qirropth  30844  jm2.17a  30898  congmul  30905  jm2.18  30930  areaquad  31184  itgsinexp  31753  stoweidlem26  31808  stirlinglem7  31862  fourierdlem83  31972  etransclem46  32063  bj-bary1lem  34679  bj-bary1lem1  34680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830
  Copyright terms: Public domain W3C validator