MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 10038
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1
mulnegd.2
subdid.3
Assertion
Ref Expression
subdird

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2
2 mulnegd.2 . 2
3 subdid.3 . 2
4 subdir 10016 . 2
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511   cmul 9518   cmin 9828
This theorem is referenced by:  mulsubfacd  10041  ltmul1a  10416  lincmb01cmp  11692  iccf1o  11693  modmul1  12040  remullem  12961  mulcn2  13418  fsumparts  13620  geo2sum  13682  modprm0  14330  mul4sqlem  14471  vdwapun  14492  icopnfcnv  21442  itgconst  22225  itgmulc2lem2  22239  dvmulbr  22342  dvrec  22358  dvsincos  22382  cmvth  22392  dvcvx  22421  dvfsumlem1  22427  dvfsumlem2  22428  coeeulem  22621  abelthlem6  22831  tangtx  22898  tanarg  23004  logdivlti  23005  logcnlem4  23026  affineequiv  23157  affineequiv2  23158  chordthmlem2  23164  chordthmlem4  23166  mcubic  23178  dquartlem2  23183  quart1lem  23186  quart1  23187  quartlem1  23188  dvatan  23266  atantayl  23268  wilthlem2  23343  logfaclbnd  23497  logexprlim  23500  perfectlem2  23505  dchrsum2  23543  sumdchr2  23545  bposlem9  23567  lgsquadlem1  23629  chebbnd1lem3  23656  rpvmasumlem  23672  log2sumbnd  23729  chpdifbndlem1  23738  selberg3lem1  23742  selberg4lem1  23745  selbergr  23753  selberg3r  23754  selberg4r  23755  pntrlog2bndlem3  23764  pntrlog2bndlem5  23766  pntibndlem2  23776  pntlemo  23792  ttgcontlem1  24188  brbtwn2  24208  colinearalglem1  24209  axsegconlem9  24228  axcontlem2  24268  axcontlem7  24273  axcontlem8  24274  2sqmod  27636  lgamcvg2  28597  sinccvglem  29038  fallfacfwd  29158  bpoly4  29821  itgmulc2nclem2  30082  bfp  30320  pellexlem6  30770  congmul  30905  areaquad  31184  subdir2d  31511  itgsinexp  31753  stoweidlem13  31795  stoweidlem14  31796  stoweidlem26  31808  fourierdlem6  31895  fourierdlem26  31915  fourierdlem42  31931  fourierdlem65  31954  fourierdlem95  31984  sigarmf  32071  cevathlem2  32085  joinlmulsubmuld  33189  bj-bary1lem  34679  bj-bary1lem1  34680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830
  Copyright terms: Public domain W3C validator