Theorem subge0 10090

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subge0

Proof of Theorem subge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9618	. . 3
2		simpr 461	. . 3
3		simpl 457	. . 3
4		leaddsub 10053	. . 3
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1228	. 2
6	2	recnd 9643	. . . 4
7	6	addid2d 9802	. . 3
8	7	breq1d 4462	. 2
9	5, 8	bitr3d 255	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  caddc 9516  cle 9650  cmin 9828

This theorem is referenced by:  subge0i  10131  subge0d  10167  mulsuble0b  10439  znn0sub  10936  uzindOLD  10982  uzsubsubfz  11736  difelfzle  11817  difelfznle  11818  fracge0  11941  modge0  12005  2submod  12048  expnbnd  12295  swrdccatin12lem2  12714  swrdccat  12718  repswswrd  12756  cshwidxmod  12774  abssubge0  13160  blcvx  21303  iirev  21429  iihalf2  21433  ovolfsf  21883  cosq14ge0  22904  sinord  22921  resinf1o  22923  ang180lem2  23142  acosbnd  23231  ftalem5  23350  mumullem2  23454  rpvmasumlem  23672  dchrisum0flblem1  23693  brbtwn2  24208  colinearalglem4  24212  ax5seglem3  24234  rescon  28691  fz0n  29110  sin2h  30045  cos2h  30046  tan2h  30047  ftc1anclem5  30094  dvasin  30103  jm2.23  30938  lesubnn0  32326  subsubelfzo0  32338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831