MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suc11reg Unicode version

Theorem suc11reg 8057
Description: The successor operation behaves like a one-to-one function (assuming the Axiom of Regularity). Exercise 35 of [Enderton] p. 208 and its converse. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
suc11reg

Proof of Theorem suc11reg
StepHypRef Expression
1 en2lp 8051 . . . . 5
2 ianor 488 . . . . 5
31, 2mpbi 208 . . . 4
4 sucidg 4961 . . . . . . . . . . 11
5 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10
7 elsucg 4950 . . . . . . . . . 10
86, 7sylibd 214 . . . . . . . . 9
98imp 429 . . . . . . . 8
109ord 377 . . . . . . 7
1110ex 434 . . . . . 6
1211com23 78 . . . . 5
13 sucidg 4961 . . . . . . . . . . . 12
14 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11
16 elsucg 4950 . . . . . . . . . . 11
1715, 16sylibd 214 . . . . . . . . . 10
1817imp 429 . . . . . . . . 9
1918ord 377 . . . . . . . 8
20 eqcom 2466 . . . . . . . 8
2119, 20syl6ib 226 . . . . . . 7
2221ex 434 . . . . . 6
2322com23 78 . . . . 5
2412, 23jaao 509 . . . 4
253, 24mpi 17 . . 3
26 sucexb 6644 . . . . 5
27 sucexb 6644 . . . . . 6
2827notbii 296 . . . . 5
29 nelneq 2574 . . . . 5
3026, 28, 29syl2anb 479 . . . 4
3130pm2.21d 106 . . 3
32 eqcom 2466 . . . 4
3326notbii 296 . . . . . . 7
34 nelneq 2574 . . . . . . 7
3527, 33, 34syl2anb 479 . . . . . 6
3635ancoms 453 . . . . 5
3736pm2.21d 106 . . . 4
3832, 37syl5bi 217 . . 3
39 sucprc 4958 . . . . 5
40 sucprc 4958 . . . . 5
4139, 40eqeqan12d 2480 . . . 4
4241biimpd 207 . . 3
4325, 31, 38, 424cases 949 . 2
44 suceq 4948 . 2
4543, 44impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  succsuc 4885
This theorem is referenced by:  rankxpsuc  8321  bnj551  33799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-eprel 4796  df-fr 4843  df-suc 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator