Theorem suc11reg 8057

Description: The successor operation behaves like a one-to-one function (assuming the Axiom of Regularity). Exercise 35 of [Enderton] p. 208 and its converse. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
suc11reg

Proof of Theorem suc11reg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2lp 8051	. . . . 5
2		ianor 488	. . . . 5
3	1, 2	mpbi 208	. . . 4
4		sucidg 4961	. . . . . . . . . . 11
5		eleq2 2530	. . . . . . . . . . 11
6	4, 5	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . 10
7		elsucg 4950	. . . . . . . . . 10
8	6, 7	sylibd 214	. . . . . . . . 9
9	8	imp 429	. . . . . . . 8
10	9	ord 377	. . . . . . 7
11	10	ex 434	. . . . . 6
12	11	com23 78	. . . . 5
13		sucidg 4961	. . . . . . . . . . . 12
14		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . 12
15	13, 14	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11
16		elsucg 4950	. . . . . . . . . . 11
17	15, 16	sylibd 214	. . . . . . . . . 10
18	17	imp 429	. . . . . . . . 9
19	18	ord 377	. . . . . . . 8
20		eqcom 2466	. . . . . . . 8
21	19, 20	syl6ib 226	. . . . . . 7
22	21	ex 434	. . . . . 6
23	22	com23 78	. . . . 5
24	12, 23	jaao 509	. . . 4
25	3, 24	mpi 17	. . 3
26		sucexb 6644	. . . . 5
27		sucexb 6644	. . . . . 6
28	27	notbii 296	. . . . 5
29		nelneq 2574	. . . . 5
30	26, 28, 29	syl2anb 479	. . . 4
31	30	pm2.21d 106	. . 3
32		eqcom 2466	. . . 4
33	26	notbii 296	. . . . . . 7
34		nelneq 2574	. . . . . . 7
35	27, 33, 34	syl2anb 479	. . . . . 6
36	35	ancoms 453	. . . . 5
37	36	pm2.21d 106	. . . 4
38	32, 37	syl5bi 217	. . 3
39		sucprc 4958	. . . . 5
40		sucprc 4958	. . . . 5
41	39, 40	eqeqan12d 2480	. . . 4
42	41	biimpd 207	. . 3
43	25, 31, 38, 42	4cases 949	. 2
44		suceq 4948	. 2
45	43, 44	impbii 188	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  succsuc 4885

This theorem is referenced by:  rankxpsuc  8321  bnj551  33799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-eprel 4796  df-fr 4843  df-suc 4889