MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucdom2 Unicode version

Theorem sucdom2 7734
Description: Strict dominance of a set over another set implies dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sucdom2

Proof of Theorem sucdom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7563 . . 3
2 brdomi 7547 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 relsdom 7543 . . . . . . 7
54brrelexi 5045 . . . . . 6
65adantr 465 . . . . 5
7 vex 3112 . . . . . . 7
87rnex 6734 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 f1f1orn 5832 . . . . . . 7
1110adantl 466 . . . . . 6
12 f1of1 5820 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 f1dom2g 7553 . . . . 5
156, 9, 13, 14syl3anc 1228 . . . 4
16 sdomnen 7564 . . . . . . . 8
1716adantr 465 . . . . . . 7
18 ssdif0 3885 . . . . . . . 8
19 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
20 f1f 5786 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 df-f 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
2322simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
2419, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25eqssd 3520 . . . . . . . . . . 11
27 dff1o5 5830 . . . . . . . . . . 11
2819, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
29 f1oen3g 7551 . . . . . . . . . 10
307, 28, 29sylancr 663 . . . . . . . . 9
3130ex 434 . . . . . . . 8
3218, 31syl5bir 218 . . . . . . 7
3317, 32mtod 177 . . . . . 6
34 neq0 3795 . . . . . 6
3533, 34sylib 196 . . . . 5
36 snssi 4174 . . . . . . 7
37 vex 3112 . . . . . . . . 9
38 en2sn 7615 . . . . . . . . 9
396, 37, 38sylancl 662 . . . . . . . 8
404brrelex2i 5046 . . . . . . . . . 10
4140adantr 465 . . . . . . . . 9
42 difexg 4600 . . . . . . . . 9
43 ssdomg 7581 . . . . . . . . 9
4441, 42, 433syl 20 . . . . . . . 8
45 endomtr 7593 . . . . . . . 8
4639, 44, 45syl6an 545 . . . . . . 7
4736, 46syl5 32 . . . . . 6
4847exlimdv 1724 . . . . 5
4935, 48mpd 15 . . . 4
50 disjdif 3900 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4
52 undom 7625 . . . 4
5315, 49, 51, 52syl21anc 1227 . . 3
54 df-suc 4889 . . . 4
5554a1i 11 . . 3
56 undif2 3904 . . . 4
5723adantl 466 . . . . 5
58 ssequn1 3673 . . . . 5
5957, 58sylib 196 . . . 4
6056, 59syl5req 2511 . . 3
6153, 55, 603brtr4d 4482 . 2
623, 61exlimddv 1726 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  succsuc 4885  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  sucdom  7735  card2inf  8002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator