MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suceloni Unicode version

Theorem suceloni 6648
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)
Assertion
Ref Expression
suceloni

Proof of Theorem suceloni
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelss 4925 . . . . . . . 8
2 elsn 4043 . . . . . . . . . 10
3 eqimss 3555 . . . . . . . . . 10
42, 3sylbi 195 . . . . . . . . 9
54a1i 11 . . . . . . . 8
61, 5orim12d 838 . . . . . . 7
7 df-suc 4889 . . . . . . . . 9
87eleq2i 2535 . . . . . . . 8
9 elun 3644 . . . . . . . 8
108, 9bitr2i 250 . . . . . . 7
11 oridm 514 . . . . . . 7
126, 10, 113imtr3g 269 . . . . . 6
13 sssucid 4960 . . . . . 6
14 sstr2 3510 . . . . . 6
1512, 13, 14syl6mpi 62 . . . . 5
1615ralrimiv 2869 . . . 4
17 dftr3 4549 . . . 4
1816, 17sylibr 212 . . 3
19 onss 6626 . . . . 5
20 snssi 4174 . . . . 5
2119, 20unssd 3679 . . . 4
227, 21syl5eqss 3547 . . 3
23 ordon 6618 . . . 4
24 trssord 4900 . . . . 5
25243exp 1195 . . . 4
2623, 25mpii 43 . . 3
2718, 22, 26sylc 60 . 2
28 sucexg 6645 . . 3
29 elong 4891 . . 3
3028, 29syl 16 . 2
3127, 30mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885
This theorem is referenced by:  ordsuc  6649  unon  6666  onsuci  6673  ordunisuc2  6679  ordzsl  6680  onzsl  6681  tfindsg  6695  dfom2  6702  findsg  6727  tfrlem12  7077  oasuc  7193  omsuc  7195  onasuc  7197  oacl  7204  oneo  7249  omeulem1  7250  omeulem2  7251  oeordi  7255  oeworde  7261  oelim2  7263  oelimcl  7268  oeeulem  7269  oeeui  7270  oaabs2  7313  omxpenlem  7638  card2inf  8002  cantnflt  8112  cantnflem1d  8128  cantnfltOLD  8142  cantnflem1dOLD  8151  cnfcom  8165  cnfcomOLD  8173  r1ordg  8217  bndrank  8280  r1pw  8284  r1pwOLD  8285  tcrank  8323  onssnum  8442  dfac12lem2  8545  cfsuc  8658  cfsmolem  8671  fin1a2lem1  8801  fin1a2lem2  8802  ttukeylem7  8916  alephreg  8978  gch2  9074  winainflem  9092  winalim2  9095  r1wunlim  9136  nqereu  9328  ontgval  29896  ontgsucval  29897  onsuctop  29898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator