MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucxpdom Unicode version

Theorem sucxpdom 7749
Description: Cartesian product dominates successor for set with cardinality greater than 1. Proposition 10.38 of [TakeutiZaring] p. 93 (but generalized to arbitrary sets, not just ordinals). (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sucxpdom

Proof of Theorem sucxpdom
StepHypRef Expression
1 df-suc 4889 . 2
2 relsdom 7543 . . . . . . . . 9
32brrelex2i 5046 . . . . . . . 8
4 1on 7156 . . . . . . . 8
5 xpsneng 7622 . . . . . . . 8
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . . 7
76ensymd 7586 . . . . . 6
8 endom 7562 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
10 ensn1g 7600 . . . . . . . . 9
113, 10syl 16 . . . . . . . 8
12 ensdomtr 7673 . . . . . . . 8
1311, 12mpancom 669 . . . . . . 7
14 0ex 4582 . . . . . . . . 9
15 xpsneng 7622 . . . . . . . . 9
163, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . 8
1716ensymd 7586 . . . . . . 7
18 sdomentr 7671 . . . . . . 7
1913, 17, 18syl2anc 661 . . . . . 6
20 sdomdom 7563 . . . . . 6
2119, 20syl 16 . . . . 5
22 1n0 7164 . . . . . 6
23 xpsndisj 5435 . . . . . 6
2422, 23mp1i 12 . . . . 5
25 undom 7625 . . . . 5
269, 21, 24, 25syl21anc 1227 . . . 4
27 sdomentr 7671 . . . . . 6
287, 27mpdan 668 . . . . 5
29 sdomentr 7671 . . . . . 6
3017, 29mpdan 668 . . . . 5
31 unxpdom 7747 . . . . 5
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . 4
33 domtr 7588 . . . 4
3426, 32, 33syl2anc 661 . . 3
35 xpen 7700 . . . 4
366, 16, 35syl2anc 661 . . 3
37 domentr 7594 . . 3
3834, 36, 37syl2anc 661 . 2
391, 38syl5eqbr 4485 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator