MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2ii Unicode version

Theorem sumeq2ii 13515
Description: Equality theorem for sum, with the class expressions and guarded by to be always sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2ii
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem sumeq2ii
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8
2 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
3 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . 14
4 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64, 5nffv 5878 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
84, 7nffv 5878 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96, 8nfeq 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15
10 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
159, 14rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . 14
162, 3, 15sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
1716ifeq1da 3971 . . . . . . . . . . . 12
18 fvif 5882 . . . . . . . . . . . 12
19 fvif 5882 . . . . . . . . . . . 12
2017, 18, 193eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . 11
2120mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . 10
2221fveq1d 5873 . . . . . . . . 9
23 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
24 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
2523, 24fvmptex 5966 . . . . . . . . 9
26 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
27 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
2826, 27fvmptex 5966 . . . . . . . . 9
2922, 25, 283eqtr4g 2523 . . . . . . . 8
301, 29seqfeq 12132 . . . . . . 7
3130breq1d 4462 . . . . . 6
3231anbi2d 703 . . . . 5
3332rexbidva 2965 . . . 4
34 simplr 755 . . . . . . . . . 10
35 nnuz 11145 . . . . . . . . . 10
3634, 35syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
37 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . 14
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13
39 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12
41 simplll 759 . . . . . . . . . . . 12
42 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
43 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43nfeq 2630 . . . . . . . . . . . . 13
45 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . 14
46 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . 14
4745, 46eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13
4844, 47rspc 3204 . . . . . . . . . . . 12
4940, 41, 48sylc 60 . . . . . . . . . . 11
50 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
51 csbfv2g 5908 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
53 csbfv2g 5908 . . . . . . . . . . . 12
5450, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5549, 52, 543eqtr3g 2521 . . . . . . . . . 10
56 elfznn 11743 . . . . . . . . . . . 12
5756adantl 466 . . . . . . . . . . 11
58 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
5958csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . 12
60 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60fvmpti 5955 . . . . . . . . . . 11
6257, 61syl 16 . . . . . . . . . 10
6358csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . 12
64 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
6563, 64fvmpti 5955 . . . . . . . . . . 11
6657, 65syl 16 . . . . . . . . . 10
6755, 62, 663eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
6836, 67seqfveq 12131 . . . . . . . 8
6968eqeq2d 2471 . . . . . . 7
7069pm5.32da 641 . . . . . 6
7170exbidv 1714 . . . . 5
7271rexbidva 2965 . . . 4
7333, 72orbi12d 709 . . 3
7473iotabidv 5577 . 2
75 df-sum 13509 . 2
76 df-sum 13509 . 2
7774, 75, 763eqtr4g 2523 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cid 4795  iotacio 5554  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  sumeq2  13516  sum2id  13530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator