Theorem summo 13539

Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1
summo.2
summo.3

Assertion

Ref	Expression
summo

Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,

Proof of Theorem summo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
2	1	sseq2d 3531	. . . . . . . . 9
3		seqeq1 12110	. . . . . . . . . 10
4	3	breq1d 4462	. . . . . . . . 9
5	2, 4	anbi12d 710	. . . . . . . 8
6	5	cbvrexv 3085	. . . . . . 7
7		reeanv 3025	. . . . . . . . 9
8		simprlr 764	. . . . . . . . . . . . 13
9		summo.1	. . . . . . . . . . . . . 14
10		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15
11		summo.2	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	10, 11	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14
13		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . 14
14		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14
15		simprll 763	. . . . . . . . . . . . . 14
16		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . 14
17	9, 12, 13, 14, 15, 16	sumrb 13535	. . . . . . . . . . . . 13
18	8, 17	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12
19		simprrr 766	. . . . . . . . . . . 12
20		climuni 13375	. . . . . . . . . . . 12
21	18, 19, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
22	21	exp31 604	. . . . . . . . . 10
23	22	rexlimdvv 2955	. . . . . . . . 9
24	7, 23	syl5bir 218	. . . . . . . 8
25	24	expdimp 437	. . . . . . 7
26	6, 25	syl5bi 217	. . . . . 6
27		summo.3	. . . . . . 7
28	9, 11, 27	summolem2 13538	. . . . . 6
29	26, 28	jaod 380	. . . . 5
30	9, 11, 27	summolem2 13538	. . . . . . . 8
31		equcom 1794	. . . . . . . 8
32	30, 31	syl6ib 226	. . . . . . 7
33	32	impancom 440	. . . . . 6
34		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
35		f1oeq2 5813	. . . . . . . . . . . 12
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . 11
37		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
38	37	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11
39	36, 38	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10
40	39	exbidv 1714	. . . . . . . . 9
41		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . 11
42		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	42	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44	43	mpteq2dv 4539	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	27, 44	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . 14
46	45	seqeq3d 12115	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . 12
48	47	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11
49	41, 48	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10
50	49	cbvexv 2024	. . . . . . . . 9
51	40, 50	syl6bb 261	. . . . . . . 8
52	51	cbvrexv 3085	. . . . . . 7
53		reeanv 3025	. . . . . . . . 9
54		eeanv 1988	. . . . . . . . . . 11
55		an4 824	. . . . . . . . . . . . 13
56		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	56, 11	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59	58	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	59	cbvmptv 4543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	27, 60	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63	62	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	63	cbvmptv 4543	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	9, 57, 61, 64, 65, 66, 67	summolem3 13536	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		eqeq12 2476	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	68, 69	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . 14
71	70	expimpd 603	. . . . . . . . . . . . 13
72	55, 71	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12
73	72	exlimdvv 1725	. . . . . . . . . . 11
74	54, 73	syl5bir 218	. . . . . . . . . 10
75	74	rexlimdvva 2956	. . . . . . . . 9
76	53, 75	syl5bir 218	. . . . . . . 8
77	76	expdimp 437	. . . . . . 7
78	52, 77	syl5bi 217	. . . . . 6
79	33, 78	jaod 380	. . . . 5
80	29, 79	jaodan 785	. . . 4
81	80	expimpd 603	. . 3
82	81	alrimivv 1720	. 2
83		breq2 4456	. . . . . 6
84	83	anbi2d 703	. . . . 5
85	84	rexbidv 2968	. . . 4
86		eqeq1 2461	. . . . . . 7
87	86	anbi2d 703	. . . . . 6
88	87	exbidv 1714	. . . . 5
89	88	rexbidv 2968	. . . 4
90	85, 89	orbi12d 709	. . 3
91	90	mo4 2337	. 2
92	82, 91	sylibr 212	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307

This theorem is referenced by:  fsum  13542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311