Theorem summolem2a 13537

Description: Lemma for summo 13539. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1
summo.2
summo.3
summolem2.4
summolem2.5
summolem2.6
summolem2.7
summolem2.8
summolem2.9

Assertion

Ref	Expression
summolem2a

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,N,   ,,   ,,   ,M,

Proof of Theorem summolem2a

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		summo.1	. . 3
2		summo.2	. . 3
3		summolem2.7	. . . 4
4		summolem2.9	. . . . . . . 8
5		summolem2.8	. . . . . . . . . . . . 13
6		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . 14
7	6	f1oen 7556	. . . . . . . . . . . . 13
8	5, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
9		fzfid 12083	. . . . . . . . . . . . 13
10	8	ensymd 7586	. . . . . . . . . . . . . 14
11		enfii 7757	. . . . . . . . . . . . . 14
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
13		hashen 12420	. . . . . . . . . . . . 13
14	9, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
15	8, 14	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11
16		summolem2.5	. . . . . . . . . . . 12
17		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . 12
18		hashfz1 12419	. . . . . . . . . . . 12
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11
20	15, 19	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . 10
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
22		isoeq4 6218	. . . . . . . . 9
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8
24	4, 23	mpbid 210	. . . . . . 7
25		isof1o 6221	. . . . . . 7
26	24, 25	syl 16	. . . . . 6
27		f1of 5821	. . . . . 6
28	26, 27	syl 16	. . . . 5
29		nnuz 11145	. . . . . . 7
30	16, 29	syl6eleq 2555	. . . . . 6
31		eluzfz2 11723	. . . . . 6
32	30, 31	syl 16	. . . . 5
33	28, 32	ffvelrnd 6032	. . . 4
34	3, 33	sseldd 3504	. . 3
35	3	sselda 3503	. . . . . 6
36		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . 9
37	26, 36	sylan 471	. . . . . . . 8
38		f1ocnv 5833	. . . . . . . . . . . 12
39		f1of 5821	. . . . . . . . . . . 12
40	26, 38, 39	3syl 20	. . . . . . . . . . 11
41	40	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . 10
42		elfzle2 11719	. . . . . . . . . 10
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . 9
44	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10
45		fzssuz 11753	. . . . . . . . . . . . 13
46		uzssz 11129	. . . . . . . . . . . . . 14
47		zssre 10896	. . . . . . . . . . . . . 14
48	46, 47	sstri 3512	. . . . . . . . . . . . 13
49	45, 48	sstri 3512	. . . . . . . . . . . 12
50		ressxr 9658	. . . . . . . . . . . 12
51	49, 50	sstri 3512	. . . . . . . . . . 11
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10
53	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
54		uzssz 11129	. . . . . . . . . . . . 13
55	54, 47	sstri 3512	. . . . . . . . . . . 12
56	53, 55	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . 11
57	56, 50	syl6ss 3515	. . . . . . . . . 10
58	32	adantr 465	. . . . . . . . . 10
59		leisorel 12509	. . . . . . . . . 10
60	44, 52, 57, 41, 58, 59	syl122anc 1237	. . . . . . . . 9
61	43, 60	mpbid 210	. . . . . . . 8
62	37, 61	eqbrtrrd 4474	. . . . . . 7
63		eluzelz 11119	. . . . . . . . 9
64	35, 63	syl 16	. . . . . . . 8
65		eluzelz 11119	. . . . . . . . . 10
66	34, 65	syl 16	. . . . . . . . 9
67	66	adantr 465	. . . . . . . 8
68		eluz 11123	. . . . . . . 8
69	64, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . 7
70	62, 69	mpbird 232	. . . . . 6
71		elfzuzb 11711	. . . . . 6
72	35, 70, 71	sylanbrc 664	. . . . 5
73	72	ex 434	. . . 4
74	73	ssrdv 3509	. . 3
75	1, 2, 34, 74	fsumcvg 13534	. 2
76		addid2 9784	. . . . 5
77	76	adantl 466	. . . 4
78		addid1 9781	. . . . 5
79	78	adantl 466	. . . 4
80		addcl 9595	. . . . 5
81	80	adantl 466	. . . 4
82		0cnd 9610	. . . 4
83	32, 21	eleqtrrd 2548	. . . 4
84		iftrue 3947	. . . . . . . . . . 11
85	84	adantl 466	. . . . . . . . . 10
86	85, 2	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
87	86	ex 434	. . . . . . . 8
88		iffalse 3950	. . . . . . . . 9
89		0cn 9609	. . . . . . . . 9
90	88, 89	syl6eqel 2553	. . . . . . . 8
91	87, 90	pm2.61d1 159	. . . . . . 7
92	91	adantr 465	. . . . . 6
93	92, 1	fmptd 6055	. . . . 5
94		elfzelz 11717	. . . . 5
95		ffvelrn 6029	. . . . 5
96	93, 94, 95	syl2an 477	. . . 4
97		fveq2 5871	. . . . . . 7
98	97	eqeq1d 2459	. . . . . 6
99		eldifi 3625	. . . . . . . . 9
100		elfzelz 11717	. . . . . . . . 9
101	99, 100	syl 16	. . . . . . . 8
102		eldifn 3626	. . . . . . . . . 10
103	102, 88	syl 16	. . . . . . . . 9
104	103, 89	syl6eqel 2553	. . . . . . . 8
105	1	fvmpt2 5963	. . . . . . . 8
106	101, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . 7
107	106, 103	eqtrd 2498	. . . . . 6
108	98, 107	vtoclga 3173	. . . . 5
109	108	adantl 466	. . . 4
110		isof1o 6221	. . . . . . . 8
111		f1of 5821	. . . . . . . 8
112	4, 110, 111	3syl 20	. . . . . . 7
113	112	ffvelrnda 6031	. . . . . 6
114	113	iftrued 3949	. . . . 5
115	3	adantr 465	. . . . . . . 8
116	115, 113	sseldd 3504	. . . . . . 7
117		eluzelz 11119	. . . . . . 7
118	116, 117	syl 16	. . . . . 6
119		nfv 1707	. . . . . . . . 9
120		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
121		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
122		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
123	120, 121, 122	nfif 3970	. . . . . . . . . 10
124	123	nfel1 2635	. . . . . . . . 9
125	119, 124	nfim 1920	. . . . . . . 8
126		fvex 5881	. . . . . . . 8
127		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11
128		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
129	127, 128	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . . 10
130	129	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
131	130	imbi2d 316	. . . . . . . 8
132	125, 126, 131, 91	vtoclf 3160	. . . . . . 7
133	132	adantr 465	. . . . . 6
134		eleq1 2529	. . . . . . . 8
135		csbeq1 3437	. . . . . . . 8
136	134, 135	ifbieq1d 3964	. . . . . . 7
137		nfcv 2619	. . . . . . . . 9
138		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
139		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . 10
140	138, 139, 122	nfif 3970	. . . . . . . . 9
141		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
142		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . 10
143	141, 142	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . 9
144	137, 140, 143	cbvmpt 4542	. . . . . . . 8
145	1, 144	eqtri 2486	. . . . . . 7
146	136, 145	fvmptg 5954	. . . . . 6
147	118, 133, 146	syl2anc 661	. . . . 5
148		elfznn 11743	. . . . . . 7
149	148	adantl 466	. . . . . 6
150	114, 133	eqeltrrd 2546	. . . . . 6
151		fveq2 5871	. . . . . . . 8
152	151	csbeq1d 3441	. . . . . . 7
153		summolem2.4	. . . . . . 7
154	152, 153	fvmptg 5954	. . . . . 6
155	149, 150, 154	syl2anc 661	. . . . 5
156	114, 147, 155	3eqtr4rd 2509	. . . 4
157	77, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156	seqcoll 12512	. . 3
158		summo.3	. . . 4
159	16, 16	jca 532	. . . 4
160	1, 2, 158, 153, 159, 5, 26	summolem3 13536	. . 3
161	157, 160	eqtr4d 2501	. 2
162	75, 161	breqtrd 4476	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  [_csb 3434  \cdif 3472  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  cen 7533  cfn 7536  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  chash 12405  cli 13307

This theorem is referenced by:  summolem2  13538  zsum  13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311