Theorem summolem3 13536

Description: Lemma for summo 13539. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1
summo.2
summo.3
summolem3.4
summolem3.5
summolem3.6
summolem3.7

Assertion

Ref	Expression
summolem3

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,N,   ,,   ,,   ,M,

Proof of Theorem summolem3

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 9595	. . . 4
2	1	adantl 466	. . 3
3		addcom 9787	. . . 4
4	3	adantl 466	. . 3
5		addass 9600	. . . 4
6	5	adantl 466	. . 3
7		summolem3.5	. . . . 5
8	7	simpld 459	. . . 4
9		nnuz 11145	. . . 4
10	8, 9	syl6eleq 2555	. . 3
11		ssid 3522	. . . 4
12	11	a1i 11	. . 3
13		summolem3.6	. . . . . 6
14		f1ocnv 5833	. . . . . 6
15	13, 14	syl 16	. . . . 5
16		summolem3.7	. . . . 5
17		f1oco 5843	. . . . 5
18	15, 16, 17	syl2anc 661	. . . 4
19		ovex 6324	. . . . . . . . . 10
20	19	f1oen 7556	. . . . . . . . 9
21	18, 20	syl 16	. . . . . . . 8
22		fzfi 12082	. . . . . . . . 9
23		fzfi 12082	. . . . . . . . 9
24		hashen 12420	. . . . . . . . 9
25	22, 23, 24	mp2an 672	. . . . . . . 8
26	21, 25	sylibr 212	. . . . . . 7
27	7	simprd 463	. . . . . . . 8
28		nnnn0 10827	. . . . . . . 8
29		hashfz1 12419	. . . . . . . 8
30	27, 28, 29	3syl 20	. . . . . . 7
31		nnnn0 10827	. . . . . . . 8
32		hashfz1 12419	. . . . . . . 8
33	8, 31, 32	3syl 20	. . . . . . 7
34	26, 30, 33	3eqtr3rd 2507	. . . . . 6
35	34	oveq2d 6312	. . . . 5
36		f1oeq2 5813	. . . . 5
37	35, 36	syl 16	. . . 4
38	18, 37	mpbird 232	. . 3
39		elfznn 11743	. . . . . 6
40	39	adantl 466	. . . . 5
41		f1of 5821	. . . . . . . 8
42	13, 41	syl 16	. . . . . . 7
43	42	ffvelrnda 6031	. . . . . 6
44		summo.2	. . . . . . . 8
45	44	ralrimiva 2871	. . . . . . 7
46	45	adantr 465	. . . . . 6
47		nfcsb1v 3450	. . . . . . . 8
48	47	nfel1 2635	. . . . . . 7
49		csbeq1a 3443	. . . . . . . 8
50	49	eleq1d 2526	. . . . . . 7
51	48, 50	rspc 3204	. . . . . 6
52	43, 46, 51	sylc 60	. . . . 5
53		fveq2 5871	. . . . . . 7
54	53	csbeq1d 3441	. . . . . 6
55		summo.3	. . . . . 6
56	54, 55	fvmptg 5954	. . . . 5
57	40, 52, 56	syl2anc 661	. . . 4
58	57, 52	eqeltrd 2545	. . 3
59		f1oeq2 5813	. . . . . . . . . . . 12
60	35, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11
61	16, 60	mpbird 232	. . . . . . . . . 10
62		f1of 5821	. . . . . . . . . 10
63	61, 62	syl 16	. . . . . . . . 9
64		fvco3 5950	. . . . . . . . 9
65	63, 64	sylan 471	. . . . . . . 8
66	65	fveq2d 5875	. . . . . . 7
67	13	adantr 465	. . . . . . . 8
68	63	ffvelrnda 6031	. . . . . . . 8
69		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . 8
70	67, 68, 69	syl2anc 661	. . . . . . 7
71	66, 70	eqtr2d 2499	. . . . . 6
72	71	csbeq1d 3441	. . . . 5
73	72	fveq2d 5875	. . . 4
74		elfznn 11743	. . . . . 6
75	74	adantl 466	. . . . 5
76		fveq2 5871	. . . . . . 7
77	76	csbeq1d 3441	. . . . . 6
78		summolem3.4	. . . . . 6
79	77, 78	fvmpti 5955	. . . . 5
80	75, 79	syl 16	. . . 4
81		f1of 5821	. . . . . . 7
82	38, 81	syl 16	. . . . . 6
83	82	ffvelrnda 6031	. . . . 5
84		elfznn 11743	. . . . 5
85		fveq2 5871	. . . . . . 7
86	85	csbeq1d 3441	. . . . . 6
87	86, 55	fvmpti 5955	. . . . 5
88	83, 84, 87	3syl 20	. . . 4
89	73, 80, 88	3eqtr4d 2508	. . 3
90	2, 4, 6, 10, 12, 38, 58, 89	seqf1o 12148	. 2
91	34	fveq2d 5875	. 2
92	90, 91	eqtr3d 2500	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cid 4795  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cen 7533  cfn 7536  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  chash 12405

This theorem is referenced by:  summolem2a  13537  summo  13539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-hash 12406