MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsn Unicode version

Theorem sumsn 13563
Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fsum1.1
Assertion
Ref Expression
sumsn
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,

Proof of Theorem sumsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2619 . . . 4
2 nfcsb1v 3450 . . . 4
3 csbeq1a 3443 . . . 4
41, 2, 3cbvsumi 13519 . . 3
5 csbeq1 3437 . . . 4
6 1nn 10572 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
8 simpl 457 . . . . . 6
9 f1osng 5859 . . . . . 6
106, 8, 9sylancr 663 . . . . 5
11 1z 10919 . . . . . 6
12 fzsn 11754 . . . . . 6
13 f1oeq2 5813 . . . . . 6
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5
1510, 14sylibr 212 . . . 4
16 elsni 4054 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
1817csbeq1d 3441 . . . . 5
19 nfcvd 2620 . . . . . . . 8
20 fsum1.1 . . . . . . . 8
2119, 20csbiegf 3458 . . . . . . 7
2221ad2antrr 725 . . . . . 6
23 simplr 755 . . . . . 6
2422, 23eqeltrd 2545 . . . . 5
2518, 24eqeltrd 2545 . . . 4
2621ad2antrr 725 . . . . 5
27 elfz1eq 11726 . . . . . . . 8
2827fveq2d 5875 . . . . . . 7
29 fvsng 6105 . . . . . . . 8
306, 8, 29sylancr 663 . . . . . . 7
3128, 30sylan9eqr 2520 . . . . . 6
3231csbeq1d 3441 . . . . 5
3327fveq2d 5875 . . . . . 6
34 simpr 461 . . . . . . 7
35 fvsng 6105 . . . . . . 7
366, 34, 35sylancr 663 . . . . . 6
3733, 36sylan9eqr 2520 . . . . 5
3826, 32, 373eqtr4rd 2509 . . . 4
395, 7, 15, 25, 38fsum 13542 . . 3
404, 39syl5eq 2510 . 2
4111, 36seq1i 12121 . 2
4240, 41eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  [_csb 3434  {csn 4029  <.cop 4035  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561   cz 10889   cfz 11701  seqcseq 12107  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsum1  13564  sumsns  13565  fsumm1  13566  fsum1p  13568  fsum2dlem  13585  fsumge1  13611  fsumrlim  13625  fsumo1  13626  fsumiun  13635  incexclem  13648  incexc  13649  fprodefsum  13830  rpnnen2lem11  13958  bitsinv1  14092  2ebits  14097  bitsinvp1  14099  ovolfiniun  21912  volfiniun  21957  itg11  22098  itgfsum  22233  plyeq0lem  22607  coemulhi  22651  vieta1lem2  22707  vieta1  22708  chtprm  23427  musumsum  23468  muinv  23469  logexprlim  23500  perfectlem2  23505  dchrhash  23546  rpvmasum2  23697  sumpr  27769  eulerpartlems  28299  eulerpartlemgc  28301  plymulx0  28504  signsplypnf  28507  binomfallfac  29163  ismrer1  30334  jm2.23  30938  dvnprodlem3  31745  stoweidlem17  31799  stoweidlem44  31826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator