MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsplit Unicode version

Theorem sumsplit 13583
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1
sumsplit.2
sumsplit.3
sumsplit.4
sumsplit.5
sumsplit.6
sumsplit.7
sumsplit.8
sumsplit.9
Assertion
Ref Expression
sumsplit
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M   ,   ,

Proof of Theorem sumsplit
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3
2 sumsplit.7 . . . 4
32ralrimiva 2871 . . 3
4 sumsplit.1 . . . . . 6
54eqimssi 3557 . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
76orcd 392 . . 3
8 sumss2 13548 . . 3
91, 3, 7, 8syl21anc 1227 . 2
10 sumsplit.2 . . . 4
11 sumsplit.5 . . . 4
12 iftrue 3947 . . . . . . . 8
1312adantl 466 . . . . . . 7
14 elun1 3670 . . . . . . . 8
1514, 2sylan2 474 . . . . . . 7
1613, 15eqeltrd 2545 . . . . . 6
17 iffalse 3950 . . . . . . . 8
18 0cn 9609 . . . . . . . 8
1917, 18syl6eqel 2553 . . . . . . 7
2019adantl 466 . . . . . 6
2116, 20pm2.61dan 791 . . . . 5
2221adantr 465 . . . 4
23 sumsplit.6 . . . 4
24 iftrue 3947 . . . . . . . 8
2524adantl 466 . . . . . . 7
26 elun2 3671 . . . . . . . 8
2726, 2sylan2 474 . . . . . . 7
2825, 27eqeltrd 2545 . . . . . 6
29 iffalse 3950 . . . . . . . 8
3029, 18syl6eqel 2553 . . . . . . 7
3130adantl 466 . . . . . 6
3228, 31pm2.61dan 791 . . . . 5
3332adantr 465 . . . 4
34 sumsplit.8 . . . 4
35 sumsplit.9 . . . 4
364, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35isumadd 13582 . . 3
3715addid1d 9801 . . . . . 6
38 noel 3788 . . . . . . . . . . 11
39 elin 3686 . . . . . . . . . . . 12
40 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . 13
4140eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
4239, 41syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . 11
4338, 42mtbii 302 . . . . . . . . . 10
44 imnan 422 . . . . . . . . . 10
4543, 44sylibr 212 . . . . . . . . 9
4645imp 429 . . . . . . . 8
4746, 29syl 16 . . . . . . 7
4813, 47oveq12d 6314 . . . . . 6
49 iftrue 3947 . . . . . . . 8
5014, 49syl 16 . . . . . . 7
5150adantl 466 . . . . . 6
5237, 48, 513eqtr4rd 2509 . . . . 5
5332addid2d 9802 . . . . . . 7
5453adantr 465 . . . . . 6
5517adantl 466 . . . . . . 7
5655oveq1d 6311 . . . . . 6
57 biorf 405 . . . . . . . . 9
58 elun 3644 . . . . . . . . 9
5957, 58syl6rbbr 264 . . . . . . . 8
6059adantl 466 . . . . . . 7
6160ifbid 3963 . . . . . 6
6254, 56, 613eqtr4rd 2509 . . . . 5
6352, 62pm2.61dan 791 . . . 4
6463sumeq2sdv 13526 . . 3
651unssad 3680 . . . . 5
6615ralrimiva 2871 . . . . 5
67 sumss2 13548 . . . . 5
6865, 66, 7, 67syl21anc 1227 . . . 4
691unssbd 3681 . . . . 5
7027ralrimiva 2871 . . . . 5
71 sumss2 13548 . . . . 5
7269, 70, 7, 71syl21anc 1227 . . . 4
7368, 72oveq12d 6314 . . 3
7436, 64, 733eqtr4rd 2509 . 2
759, 74eqtr4d 2501 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator