Theorem sumsplit 13583

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1
sumsplit.2
sumsplit.3
sumsplit.4
sumsplit.5
sumsplit.6
sumsplit.7
sumsplit.8
sumsplit.9

Assertion

Ref	Expression
sumsplit

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M   ,   ,

Proof of Theorem sumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3
2		sumsplit.7	. . . 4
3	2	ralrimiva 2871	. . 3
4		sumsplit.1	. . . . . 6
5	4	eqimssi 3557	. . . . 5
6	5	a1i 11	. . . 4
7	6	orcd 392	. . 3
8		sumss2 13548	. . 3
9	1, 3, 7, 8	syl21anc 1227	. 2
10		sumsplit.2	. . . 4
11		sumsplit.5	. . . 4
12		iftrue 3947	. . . . . . . 8
13	12	adantl 466	. . . . . . 7
14		elun1 3670	. . . . . . . 8
15	14, 2	sylan2 474	. . . . . . 7
16	13, 15	eqeltrd 2545	. . . . . 6
17		iffalse 3950	. . . . . . . 8
18		0cn 9609	. . . . . . . 8
19	17, 18	syl6eqel 2553	. . . . . . 7
20	19	adantl 466	. . . . . 6
21	16, 20	pm2.61dan 791	. . . . 5
22	21	adantr 465	. . . 4
23		sumsplit.6	. . . 4
24		iftrue 3947	. . . . . . . 8
25	24	adantl 466	. . . . . . 7
26		elun2 3671	. . . . . . . 8
27	26, 2	sylan2 474	. . . . . . 7
28	25, 27	eqeltrd 2545	. . . . . 6
29		iffalse 3950	. . . . . . . 8
30	29, 18	syl6eqel 2553	. . . . . . 7
31	30	adantl 466	. . . . . 6
32	28, 31	pm2.61dan 791	. . . . 5
33	32	adantr 465	. . . 4
34		sumsplit.8	. . . 4
35		sumsplit.9	. . . 4
36	4, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35	isumadd 13582	. . 3
37	15	addid1d 9801	. . . . . 6
38		noel 3788	. . . . . . . . . . 11
39		elin 3686	. . . . . . . . . . . 12
40		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . 12
42	39, 41	syl5rbbr 260	. . . . . . . . . . 11
43	38, 42	mtbii 302	. . . . . . . . . 10
44		imnan 422	. . . . . . . . . 10
45	43, 44	sylibr 212	. . . . . . . . 9
46	45	imp 429	. . . . . . . 8
47	46, 29	syl 16	. . . . . . 7
48	13, 47	oveq12d 6314	. . . . . 6
49		iftrue 3947	. . . . . . . 8
50	14, 49	syl 16	. . . . . . 7
51	50	adantl 466	. . . . . 6
52	37, 48, 51	3eqtr4rd 2509	. . . . 5
53	32	addid2d 9802	. . . . . . 7
54	53	adantr 465	. . . . . 6
55	17	adantl 466	. . . . . . 7
56	55	oveq1d 6311	. . . . . 6
57		biorf 405	. . . . . . . . 9
58		elun 3644	. . . . . . . . 9
59	57, 58	syl6rbbr 264	. . . . . . . 8
60	59	adantl 466	. . . . . . 7
61	60	ifbid 3963	. . . . . 6
62	54, 56, 61	3eqtr4rd 2509	. . . . 5
63	52, 62	pm2.61dan 791	. . . 4
64	63	sumeq2sdv 13526	. . 3
65	1	unssad 3680	. . . . 5
66	15	ralrimiva 2871	. . . . 5
67		sumss2 13548	. . . . 5
68	65, 66, 7, 67	syl21anc 1227	. . . 4
69	1	unssbd 3681	. . . . 5
70	27	ralrimiva 2871	. . . . 5
71		sumss2 13548	. . . . 5
72	69, 70, 7, 71	syl21anc 1227	. . . 4
73	68, 72	oveq12d 6314	. . 3
74	36, 64, 73	3eqtr4rd 2509	. 2
75	9, 74	eqtr4d 2501	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  seqcseq 12107  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509