Theorem sumss 13546

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1
sumss.2
sumss.3
sumss.4

Assertion

Ref	Expression
sumss

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem sumss

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . 5
2		simpr 461	. . . . 5
3		sumss.1	. . . . . . 7
4		sumss.4	. . . . . . 7
5	3, 4	sstrd 3513	. . . . . 6
6	5	adantr 465	. . . . 5
7		nfcv 2619	. . . . . . 7
8		nffvmpt1 5879	. . . . . . . 8
9		nfv 1707	. . . . . . . . 9
10		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . 9
11		nfcv 2619	. . . . . . . . 9
12	9, 10, 11	nfif 3970	. . . . . . . 8
13	8, 12	nfeq 2630	. . . . . . 7
14		fveq2 5871	. . . . . . . 8
15		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
16		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
17	15, 16	ifbieq1d 3964	. . . . . . . 8
18	14, 17	eqeq12d 2479	. . . . . . 7
19		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11
20	19	fvmpt2i 5962	. . . . . . . . . 10
21		iftrue 3947	. . . . . . . . . . 11
22	21	fveq2d 5875	. . . . . . . . . 10
23	20, 22	sylan9eq 2518	. . . . . . . . 9
24		iftrue 3947	. . . . . . . . . . 11
25		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
26	25	fvmpt2i 5962	. . . . . . . . . . 11
27	24, 26	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
28	27	adantl 466	. . . . . . . . 9
29	23, 28	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8
30		iffalse 3950	. . . . . . . . . . . 12
31	30	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
32		0z 10900	. . . . . . . . . . . 12
33		fvi 5930	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
35	31, 34	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10
36	20, 35	sylan9eq 2518	. . . . . . . . 9
37		iffalse 3950	. . . . . . . . . 10
38	37	adantl 466	. . . . . . . . 9
39	36, 38	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8
40	29, 39	pm2.61dan 791	. . . . . . 7
41	7, 13, 18, 40	vtoclgaf 3172	. . . . . 6
42	41	adantl 466	. . . . 5
43		sumss.2	. . . . . . . 8
44	43, 25	fmptd 6055	. . . . . . 7
45	44	adantr 465	. . . . . 6
46	45	ffvelrnda 6031	. . . . 5
47	1, 2, 6, 42, 46	zsum 13540	. . . 4
48	4	adantr 465	. . . . 5
49		nfv 1707	. . . . . . . . 9
50		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
51		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . . . 11
52	50, 51, 11	nfif 3970	. . . . . . . . . 10
53	8, 52	nfeq 2630	. . . . . . . . 9
54	49, 53	nfim 1920	. . . . . . . 8
55		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11
56		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
57	55, 56	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . . 10
58	14, 57	eqeq12d 2479	. . . . . . . . 9
59	58	imbi2d 316	. . . . . . . 8
60	23	adantll 713	. . . . . . . . . . 11
61	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
62	61	sselda 3503	. . . . . . . . . . . 12
63		iftrue 3947	. . . . . . . . . . . . 13
64		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
65	64	fvmpt2i 5962	. . . . . . . . . . . . 13
66	63, 65	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12
67	62, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11
68	60, 67	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10
69	36	adantll 713	. . . . . . . . . . 11
70	66	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71		eldif 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
72		sumss.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73	72	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74		0cn 9609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75		fvi 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	73, 76	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	71, 77	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	70, 78	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	expr 615	. . . . . . . . . . . . . 14
81		iffalse 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	81	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14
84	80, 83	pm2.61dan 791	. . . . . . . . . . . . 13
85	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
86	85	imp 429	. . . . . . . . . . 11
87	69, 86	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10
88	68, 87	pm2.61dan 791	. . . . . . . . 9
89	88	expcom 435	. . . . . . . 8
90	7, 54, 59, 89	vtoclgaf 3172	. . . . . . 7
91	90	impcom 430	. . . . . 6
92	91	adantlr 714	. . . . 5
93	43	ex 434	. . . . . . . . . 10
94	93	adantr 465	. . . . . . . . 9
95	72, 74	syl6eqel 2553	. . . . . . . . . . 11
96	71, 95	sylan2br 476	. . . . . . . . . 10
97	96	expr 615	. . . . . . . . 9
98	94, 97	pm2.61d 158	. . . . . . . 8
99	98, 64	fmptd 6055	. . . . . . 7
100	99	adantr 465	. . . . . 6
101	100	ffvelrnda 6031	. . . . 5
102	1, 2, 48, 92, 101	zsum 13540	. . . 4
103	47, 102	eqtr4d 2501	. . 3
104		sumfc 13531	. . 3
105		sumfc 13531	. . 3
106	103, 104, 105	3eqtr3g 2521	. 2
107	3	adantr 465	. . . . . 6
108		uzf 11113	. . . . . . . . . . . 12
109	108	fdmi 5741	. . . . . . . . . . 11
110	109	eleq2i 2535	. . . . . . . . . 10
111		ndmfv 5895	. . . . . . . . . 10
112	110, 111	sylnbir 307	. . . . . . . . 9
113	112	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
114	4, 113	syl5ib 219	. . . . . . 7
115	114	impcom 430	. . . . . 6
116	107, 115	sstrd 3513	. . . . 5
117		ss0 3816	. . . . 5
118	116, 117	syl 16	. . . 4
119		ss0 3816	. . . . 5
120	115, 119	syl 16	. . . 4
121	118, 120	eqtr4d 2501	. . 3
122	121	sumeq1d 13523	. 2
123	106, 122	pm2.61dan 791	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  cid 4795  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  seqcseq 12107  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  fsumss  13547  sumss2  13548  binomlem  13641  eulerpartlemsv2  28297  eulerpartlemsv3  28300  eulerpartlemv  28303  eulerpartlemb  28307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509