MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss Unicode version

Theorem sumss 13546
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1
sumss.2
sumss.3
sumss.4
Assertion
Ref Expression
sumss
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem sumss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5
2 simpr 461 . . . . 5
3 sumss.1 . . . . . . 7
4 sumss.4 . . . . . . 7
53, 4sstrd 3513 . . . . . 6
65adantr 465 . . . . 5
7 nfcv 2619 . . . . . . 7
8 nffvmpt1 5879 . . . . . . . 8
9 nfv 1707 . . . . . . . . 9
10 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . 9
11 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
129, 10, 11nfif 3970 . . . . . . . 8
138, 12nfeq 2630 . . . . . . 7
14 fveq2 5871 . . . . . . . 8
15 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
16 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1715, 16ifbieq1d 3964 . . . . . . . 8
1814, 17eqeq12d 2479 . . . . . . 7
19 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
2019fvmpt2i 5962 . . . . . . . . . 10
21 iftrue 3947 . . . . . . . . . . 11
2221fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
2320, 22sylan9eq 2518 . . . . . . . . 9
24 iftrue 3947 . . . . . . . . . . 11
25 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
2625fvmpt2i 5962 . . . . . . . . . . 11
2724, 26eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
2827adantl 466 . . . . . . . . 9
2923, 28eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
30 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . 12
3130fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
32 0z 10900 . . . . . . . . . . . 12
33 fvi 5930 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
3531, 34syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
3620, 35sylan9eq 2518 . . . . . . . . 9
37 iffalse 3950 . . . . . . . . . 10
3837adantl 466 . . . . . . . . 9
3936, 38eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
4029, 39pm2.61dan 791 . . . . . . 7
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3172 . . . . . 6
4241adantl 466 . . . . 5
43 sumss.2 . . . . . . . 8
4443, 25fmptd 6055 . . . . . . 7
4544adantr 465 . . . . . 6
4645ffvelrnda 6031 . . . . 5
471, 2, 6, 42, 46zsum 13540 . . . 4
484adantr 465 . . . . 5
49 nfv 1707 . . . . . . . . 9
50 nfv 1707 . . . . . . . . . . 11
51 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . 11
5250, 51, 11nfif 3970 . . . . . . . . . 10
538, 52nfeq 2630 . . . . . . . . 9
5449, 53nfim 1920 . . . . . . . 8
55 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
56 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
5755, 56ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . 10
5814, 57eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
5958imbi2d 316 . . . . . . . 8
6023adantll 713 . . . . . . . . . . 11
613adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
6261sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
63 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . 13
64 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
6564fvmpt2i 5962 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 65eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
6762, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11
6860, 67eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
6936adantll 713 . . . . . . . . . . 11
7066ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 eldif 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 0cn 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75 fvi 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7773, 76syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7871, 77sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7970, 78eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14
81 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14
8480, 83pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . . . 13
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8685imp 429 . . . . . . . . . . 11
8769, 86eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
8868, 87pm2.61dan 791 . . . . . . . . 9
8988expcom 435 . . . . . . . 8
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3172 . . . . . . 7
9190impcom 430 . . . . . 6
9291adantlr 714 . . . . 5
9343ex 434 . . . . . . . . . 10
9493adantr 465 . . . . . . . . 9
9572, 74syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . 11
9671, 95sylan2br 476 . . . . . . . . . 10
9796expr 615 . . . . . . . . 9
9894, 97pm2.61d 158 . . . . . . . 8
9998, 64fmptd 6055 . . . . . . 7
10099adantr 465 . . . . . 6
101100ffvelrnda 6031 . . . . 5
1021, 2, 48, 92, 101zsum 13540 . . . 4
10347, 102eqtr4d 2501 . . 3
104 sumfc 13531 . . 3
105 sumfc 13531 . . 3
106103, 104, 1053eqtr3g 2521 . 2
1073adantr 465 . . . . . 6
108 uzf 11113 . . . . . . . . . . . 12
109108fdmi 5741 . . . . . . . . . . 11
110109eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10
111 ndmfv 5895 . . . . . . . . . 10
112110, 111sylnbir 307 . . . . . . . . 9
113112sseq2d 3531 . . . . . . . 8
1144, 113syl5ib 219 . . . . . . 7
115114impcom 430 . . . . . 6
116107, 115sstrd 3513 . . . . 5
117 ss0 3816 . . . . 5
118116, 117syl 16 . . . 4
119 ss0 3816 . . . . 5
120115, 119syl 16 . . . 4
121118, 120eqtr4d 2501 . . 3
122121sumeq1d 13523 . 2
123106, 122pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510   cid 4795  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsumss  13547  sumss2  13548  binomlem  13641  eulerpartlemsv2  28297  eulerpartlemsv3  28300  eulerpartlemv  28303  eulerpartlemb  28307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator