MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumz Unicode version

Theorem sumz 13544
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumz
Distinct variable groups:   ,   ,M

Proof of Theorem sumz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5
2 simpr 461 . . . . 5
3 simpl 457 . . . . 5
4 c0ex 9611 . . . . . . . 8
54fvconst2 6126 . . . . . . 7
6 ifid 3978 . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2516 . . . . . 6
87adantl 466 . . . . 5
9 0cnd 9610 . . . . 5
101, 2, 3, 8, 9zsum 13540 . . . 4
11 fclim 13376 . . . . . 6
12 ffun 5738 . . . . . 6
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5
14 serclim0 13400 . . . . . 6
1514adantl 466 . . . . 5
16 funbrfv 5911 . . . . 5
1713, 15, 16mpsyl 63 . . . 4
1810, 17eqtrd 2498 . . 3
19 uzf 11113 . . . . . . . . 9
2019fdmi 5741 . . . . . . . 8
2120eleq2i 2535 . . . . . . 7
22 ndmfv 5895 . . . . . . 7
2321, 22sylnbir 307 . . . . . 6
2423sseq2d 3531 . . . . 5
2524biimpac 486 . . . 4
26 ss0 3816 . . . 4
27 sumeq1 13511 . . . . 5
28 sum0 13543 . . . . 5
2927, 28syl6eq 2514 . . . 4
3025, 26, 293syl 20 . . 3
3118, 30pm2.61dan 791 . 2
32 fz1f1o 13532 . . 3
33 eqidd 2458 . . . . . . . . 9
34 simpl 457 . . . . . . . . 9
35 simpr 461 . . . . . . . . 9
36 0cnd 9610 . . . . . . . . 9
37 elfznn 11743 . . . . . . . . . . 11
384fvconst2 6126 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
4039adantl 466 . . . . . . . . 9
4133, 34, 35, 36, 40fsum 13542 . . . . . . . 8
42 nnuz 11145 . . . . . . . . . 10
4342ser0 12159 . . . . . . . . 9
4443adantr 465 . . . . . . . 8
4541, 44eqtrd 2498 . . . . . . 7
4645ex 434 . . . . . 6
4746exlimdv 1724 . . . . 5
4847imp 429 . . . 4
4929, 48jaoi 379 . . 3
5032, 49syl 16 . 2
5131, 50jaoi 379 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsum00  13612  fsumdvds  14029  pcfac  14418  ovoliunnul  21918  vitalilem5  22021  itg1addlem5  22107  itg10a  22117  itg0  22186  itgz  22187  plymullem1  22611  coemullem  22647  logtayl  23041  ftalem5  23350  chp1  23441  logexprlim  23500  bposlem2  23560  rpvmasumlem  23672  axcgrid  24219  axlowdimlem16  24260  plymulx0  28504  signsplypnf  28507  volsupnfl  30059  binomcxplemnn0  31254  binomcxplemnotnn0  31261  sumnnodd  31636  stoweidlem37  31819  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  etransclem24  32041  etransclem32  32049  etransclem35  32052  aacllem  33216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator