MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sup2 Unicode version

Theorem sup2 10524
Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
sup2
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . 12
21adantr 465 . . . . . . . . . . 11
32a1i 11 . . . . . . . . . 10
4 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 ltp1 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 lttr 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
873expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
96, 8sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
105, 9sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1110exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1211com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1312pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1413imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
165, 15syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1814, 17jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204, 19syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
2322a2d 26 . . . . . . . . . . . 12
2423ralimdv2 2864 . . . . . . . . . . 11
2524expimpd 603 . . . . . . . . . 10
263, 25jcad 533 . . . . . . . . 9
27 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
28 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
29 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
3029ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
3128, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
3227, 31spcev 3201 . . . . . . . . 9
3326, 32syl6 33 . . . . . . . 8
3433exlimdv 1724 . . . . . . 7
35 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
36 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
3736ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
3835, 37anbi12d 710 . . . . . . . 8
3938cbvexv 2024 . . . . . . 7
4034, 39syl6ib 226 . . . . . 6
41 df-rex 2813 . . . . . 6
42 df-rex 2813 . . . . . 6
4340, 41, 423imtr4g 270 . . . . 5
4443adantr 465 . . . 4
4544imdistani 690 . . 3
46 df-3an 975 . . 3
47 df-3an 975 . . 3
4845, 46, 473imtr4i 266 . 2
49 axsup 9681 . 2
5048, 49syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649
This theorem is referenced by:  sup3  10525  nnunb  10816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator