MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supcvg Unicode version

Theorem supcvg 13667
Description: Extract a sequence in such that the image of the points in the bounded set converges to the supremum of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8836. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1
supcvg.2
supcvg.3
supcvg.4
supcvg.5
supcvg.6
supcvg.7
Assertion
Ref Expression
supcvg
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,   S,

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
21oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11
4 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
52, 3, 4fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
65adantl 466 . . . . . . . . 9
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 fof 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 feq3 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1412, 13syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 f00 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1615simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1714, 16syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necon3d 2681 . . . . . . . . . . . . . 14
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13
218, 19, 203jca 1176 . . . . . . . . . . . 12
22 suprcl 10528 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11
247, 23syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10
25 nnrp 11258 . . . . . . . . . . 11
2625rpreccld 11295 . . . . . . . . . 10
27 ltsubrp 11280 . . . . . . . . . 10
2824, 26, 27syl2an 477 . . . . . . . . 9
296, 28eqbrtrd 4472 . . . . . . . 8
3029, 7syl6breq 4491 . . . . . . 7
3121adantr 465 . . . . . . . 8
32 nnrecre 10597 . . . . . . . . . . 11
33 resubcl 9906 . . . . . . . . . . 11
3424, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . 10
3534, 3fmptd 6055 . . . . . . . . 9
3635ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
37 suprlub 10530 . . . . . . . 8
3831, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7
3930, 38mpbid 210 . . . . . 6
4036adantr 465 . . . . . . . 8
418adantr 465 . . . . . . . . 9
4241sselda 3503 . . . . . . . 8
43 ltle 9694 . . . . . . . 8
4440, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . 7
4544reximdva 2932 . . . . . 6
4639, 45mpd 15 . . . . 5
47 forn 5803 . . . . . . . . 9
4810, 47syl 16 . . . . . . . 8
4948rexeqdv 3061 . . . . . . 7
50 ffn 5736 . . . . . . . 8
51 breq2 4456 . . . . . . . . 9
5251rexrn 6033 . . . . . . . 8
5312, 50, 523syl 20 . . . . . . 7
5449, 53bitr3d 255 . . . . . 6
5554adantr 465 . . . . 5
5646, 55mpbid 210 . . . 4
5756ralrimiva 2871 . . 3
58 supcvg.1 . . . 4
59 nnenom 12090 . . . 4
60 fveq2 5871 . . . . 5
6160breq2d 4464 . . . 4
6258, 59, 61axcc4 8840 . . 3
6357, 62syl 16 . 2
64 nnuz 11145 . . . . . 6
65 1zzd 10920 . . . . . 6
66 1zzd 10920 . . . . . . . . 9
6724recnd 9643 . . . . . . . . . 10
68 1z 10919 . . . . . . . . . 10
6964eqimss2i 3558 . . . . . . . . . . 11
70 nnex 10567 . . . . . . . . . . 11
7169, 70climconst2 13371 . . . . . . . . . 10
7267, 68, 71sylancl 662 . . . . . . . . 9
7370mptex 6143 . . . . . . . . . . 11
743, 73eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10
7574a1i 11 . . . . . . . . 9
76 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . 10
77 divcnv 13665 . . . . . . . . . 10
7876, 77mp1i 12 . . . . . . . . 9
79 fvconst2g 6124 . . . . . . . . . . 11
8024, 79sylan 471 . . . . . . . . . 10
8167adantr 465 . . . . . . . . . 10
8280, 81eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
83 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
84 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
851, 83, 84fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
8685adantl 466 . . . . . . . . . 10
87 nnrecre 10597 . . . . . . . . . . . 12
8887recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
8988adantl 466 . . . . . . . . . 10
9086, 89eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
9180, 86oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
926, 91eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
9364, 66, 72, 75, 78, 82, 90, 92climsub 13456 . . . . . . . 8
9467subid1d 9943 . . . . . . . 8
9593, 94breqtrd 4476 . . . . . . 7
9695ad2antrr 725 . . . . . 6
9712ad2antrr 725 . . . . . . . 8
98 fex 6145 . . . . . . . 8
9997, 58, 98sylancl 662 . . . . . . 7
100 vex 3112 . . . . . . 7
101 coexg 6751 . . . . . . 7
10299, 100, 101sylancl 662 . . . . . 6
10335ad2antrr 725 . . . . . . 7
104103ffvelrnda 6031 . . . . . 6
10512, 8fssd 5745 . . . . . . . . 9
106 fco 5746 . . . . . . . . 9
107105, 106sylan 471 . . . . . . . 8
108107adantr 465 . . . . . . 7
109108ffvelrnda 6031 . . . . . 6
110 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
111 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
112111fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
113110, 112breq12d 4465 . . . . . . . . 9
114113rspccva 3209 . . . . . . . 8
115114adantll 713 . . . . . . 7
116 simplr 755 . . . . . . . 8
117 fvco3 5950 . . . . . . . 8
118116, 117sylan 471 . . . . . . 7
119115, 118breqtrrd 4478 . . . . . 6
12021ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
121116ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
12297ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
123121, 122syldan 470 . . . . . . . . 9
124 suprub 10529 . . . . . . . . 9
125120, 123, 124syl2anc 661 . . . . . . . 8
126125, 7syl6breqr 4492 . . . . . . 7
127118, 126eqbrtrd 4472 . . . . . 6
12864, 65, 96, 102, 104, 109, 119, 127climsqz 13463 . . . . 5
129128ex 434 . . . 4
130129imdistanda 693 . . 3
131130eximdv 1710 . 2
13263, 131mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  rancrn 5005  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cli 13307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator