Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supcvg Unicode version

Theorem supcvg 13667
 Description: Extract a sequence in such that the image of the points in the bounded set converges to the supremum of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8836. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1
supcvg.2
supcvg.3
supcvg.4
supcvg.5
supcvg.6
supcvg.7
Assertion
Ref Expression
supcvg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   S,

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
21oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11
4 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
52, 3, 4fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
65adantl 466 . . . . . . . . 9
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 fof 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 feq3 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1412, 13syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 f00 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1615simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1714, 16syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necon3d 2681 . . . . . . . . . . . . . 14
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13
218, 19, 203jca 1176 . . . . . . . . . . . 12
22 suprcl 10528 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11
247, 23syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10
25 nnrp 11258 . . . . . . . . . . 11
2625rpreccld 11295 . . . . . . . . . 10
27 ltsubrp 11280 . . . . . . . . . 10
2824, 26, 27syl2an 477 . . . . . . . . 9
296, 28eqbrtrd 4472 . . . . . . . 8
3029, 7syl6breq 4491 . . . . . . 7
3121adantr 465 . . . . . . . 8
32 nnrecre 10597 . . . . . . . . . . 11
33 resubcl 9906 . . . . . . . . . . 11
3424, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . 10
3534, 3fmptd 6055 . . . . . . . . 9
3635ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
37 suprlub 10530 . . . . . . . 8
3831, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7
3930, 38mpbid 210 . . . . . 6
4036adantr 465 . . . . . . . 8
418adantr 465 . . . . . . . . 9
4241sselda 3503 . . . . . . . 8
43 ltle 9694 . . . . . . . 8
4440, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . 7
4544reximdva 2932 . . . . . 6
4639, 45mpd 15 . . . . 5
47 forn 5803 . . . . . . . . 9
4810, 47syl 16 . . . . . . . 8
4948rexeqdv 3061 . . . . . . 7
50 ffn 5736 . . . . . . . 8
51 breq2 4456 . . . . . . . . 9
5251rexrn 6033 . . . . . . . 8
5312, 50, 523syl 20 . . . . . . 7
5449, 53bitr3d 255 . . . . . 6
5554adantr 465 . . . . 5
5646, 55mpbid 210 . . . 4
5756ralrimiva 2871 . . 3
58 supcvg.1 . . . 4
59 nnenom 12090 . . . 4
60 fveq2 5871 . . . . 5
6160breq2d 4464 . . . 4
6258, 59, 61axcc4 8840 . . 3
6357, 62syl 16 . 2
64 nnuz 11145 . . . . . 6
65 1zzd 10920 . . . . . 6
66 1zzd 10920 . . . . . . . . 9
6724recnd 9643 . . . . . . . . . 10
68 1z 10919 . . . . . . . . . 10
6964eqimss2i 3558 . . . . . . . . . . 11
70 nnex 10567 . . . . . . . . . . 11
7169, 70climconst2 13371 . . . . . . . . . 10
7267, 68, 71sylancl 662 . . . . . . . . 9
7370mptex 6143 . . . . . . . . . . 11
743, 73eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10
7574a1i 11 . . . . . . . . 9
76 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . 10
77 divcnv 13665 . . . . . . . . . 10
7876, 77mp1i 12 . . . . . . . . 9
79 fvconst2g 6124 . . . . . . . . . . 11
8024, 79sylan 471 . . . . . . . . . 10
8167adantr 465 . . . . . . . . . 10
8280, 81eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
83 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
84 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
851, 83, 84fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
8685adantl 466 . . . . . . . . . 10
87 nnrecre 10597 . . . . . . . . . . . 12
8887recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
8988adantl 466 . . . . . . . . . 10
9086, 89eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
9180, 86oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
926, 91eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
9364, 66, 72, 75, 78, 82, 90, 92climsub 13456 . . . . . . . 8
9467subid1d 9943 . . . . . . . 8
9593, 94breqtrd 4476 . . . . . . 7
9695ad2antrr 725 . . . . . 6
9712ad2antrr 725 . . . . . . . 8
98 fex 6145 . . . . . . . 8
9997, 58, 98sylancl 662 . . . . . . 7
100 vex 3112 . . . . . . 7
101 coexg 6751 . . . . . . 7
10299, 100, 101sylancl 662 . . . . . 6
10335ad2antrr 725 . . . . . . 7
104103ffvelrnda 6031 . . . . . 6
10512, 8fssd 5745 . . . . . . . . 9
106 fco 5746 . . . . . . . . 9
107105, 106sylan 471 . . . . . . . 8
108107adantr 465 . . . . . . 7
109108ffvelrnda 6031 . . . . . 6
110 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
111 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
112111fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
113110, 112breq12d 4465 . . . . . . . . 9
114113rspccva 3209 . . . . . . . 8
115114adantll 713 . . . . . . 7
116 simplr 755 . . . . . . . 8
117 fvco3 5950 . . . . . . . 8
118116, 117sylan 471 . . . . . . 7
119115, 118breqtrrd 4478 . . . . . 6
12021ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
121116ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
12297ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
123121, 122syldan 470 . . . . . . . . 9
124 suprub 10529 . . . . . . . . 9
125120, 123, 124syl2anc 661 . . . . . . . 8
126125, 7syl6breqr 4492 . . . . . . 7
127118, 126eqbrtrd 4472 . . . . . 6
12864, 65, 96, 102, 104, 109, 119, 127climsqz 13463 . . . . 5
129128ex 434 . . . 4
130129imdistanda 693 . . 3
131130eximdv 1710 . 2
13263, 131mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  rancrn 5005  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1`c1 9514   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cli 13307 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312
 Copyright terms: Public domain W3C validator