MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supgtoreq Unicode version

Theorem supgtoreq 7949
Description: The supremum of a finite set is greater than or equal to all the elements of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supgtoreq.1
supgtoreq.2
supgtoreq.3
supgtoreq.4
supgtoreq.5
Assertion
Ref Expression
supgtoreq

Proof of Theorem supgtoreq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supgtoreq.4 . . . . 5
2 supgtoreq.1 . . . . . 6
3 supgtoreq.2 . . . . . . 7
4 supgtoreq.3 . . . . . . . 8
5 ne0i 3790 . . . . . . . . 9
61, 5syl 16 . . . . . . . 8
7 fisup2g 7947 . . . . . . . 8
82, 4, 6, 3, 7syl13anc 1230 . . . . . . 7
9 ssrexv 3564 . . . . . . 7
103, 8, 9sylc 60 . . . . . 6
112, 10supub 7939 . . . . 5
121, 11mpd 15 . . . 4
13 supgtoreq.5 . . . . 5
1413breq1d 4462 . . . 4
1512, 14mtbird 301 . . 3
16 fisupcl 7948 . . . . . . . 8
172, 4, 6, 3, 16syl13anc 1230 . . . . . . 7
183, 17sseldd 3504 . . . . . 6
1913, 18eqeltrd 2545 . . . . 5
203, 1sseldd 3504 . . . . 5
21 sotric 4831 . . . . 5
222, 19, 20, 21syl12anc 1226 . . . 4
23 orcom 387 . . . . . 6
24 eqcom 2466 . . . . . . 7
2524orbi2i 519 . . . . . 6
2623, 25bitri 249 . . . . 5
2726notbii 296 . . . 4
2822, 27syl6rbb 262 . . 3
2915, 28mtbird 301 . 2
3029notnotrd 113 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  Orwor 4804   cfn 7536  supcsup 7920
This theorem is referenced by:  supfirege  10550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-sup 7921
  Copyright terms: Public domain W3C validator