Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicc Unicode version

Theorem supicc 11697
 Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1
supicc.2
supicc.3
supicc.4
Assertion
Ref Expression
supicc

Proof of Theorem supicc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . . 4
2 supicc.1 . . . . 5
3 supicc.2 . . . . 5
4 iccssre 11635 . . . . 5
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4
61, 5sstrd 3513 . . 3
7 supicc.4 . . 3
82adantr 465 . . . . . . 7
98rexrd 9664 . . . . . 6
103adantr 465 . . . . . . 7
1110rexrd 9664 . . . . . 6
121sselda 3503 . . . . . 6
13 iccleub 11609 . . . . . 6
149, 11, 12, 13syl3anc 1228 . . . . 5
1514ralrimiva 2871 . . . 4
16 breq2 4456 . . . . . 6
1716ralbidv 2896 . . . . 5
1817rspcev 3210 . . . 4
193, 15, 18syl2anc 661 . . 3
20 suprcl 10528 . . 3
216, 7, 19, 20syl3anc 1228 . 2
226sselda 3503 . . . . 5
231adantr 465 . . . . . . 7
24 simpr 461 . . . . . . 7
25 iccsupr 11646 . . . . . . 7
268, 10, 23, 24, 25syl211anc 1234 . . . . . 6
2726, 20syl 16 . . . . 5
28 iccgelb 11610 . . . . . 6
299, 11, 12, 28syl3anc 1228 . . . . 5
30 suprub 10529 . . . . . 6
3126, 24, 30syl2anc 661 . . . . 5
328, 22, 27, 29, 31letrd 9760 . . . 4
3332ralrimiva 2871 . . 3
34 r19.3rzv 3922 . . . 4
357, 34syl 16 . . 3
3633, 35mpbird 232 . 2
37 suprleub 10532 . . . 4
386, 7, 19, 3, 37syl31anc 1231 . . 3
3915, 38mpbird 232 . 2
40 elicc2 11618 . . 3
412, 3, 40syl2anc 661 . 2
4221, 36, 39, 41mpbir3and 1179 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cicc 11561 This theorem is referenced by:  supicclub2  11700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-icc 11565
 Copyright terms: Public domain W3C validator