Theorem supiso 7954

Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1
supiso.2
supisoex.3
supiso.4

Assertion

Ref	Expression
supiso

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem supiso

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supiso.4	. . 3
2		supiso.1	. . . 4
3		isoso 6244	. . . 4
4	2, 3	syl 16	. . 3
5	1, 4	mpbid 210	. 2
6		isof1o 6221	. . . 4
7		f1of 5821	. . . 4
8	2, 6, 7	3syl 20	. . 3
9		supisoex.3	. . . 4
10	1, 9	supcl 7938	. . 3
11	8, 10	ffvelrnd 6032	. 2
12	1, 9	supub 7939	. . . . . 6
13	12	ralrimiv 2869	. . . . 5
14	1, 9	suplub 7940	. . . . . . 7
15	14	expd 436	. . . . . 6
16	15	ralrimiv 2869	. . . . 5
17		supiso.2	. . . . . . 7
18	2, 17	supisolem 7952	. . . . . 6
19	10, 18	mpdan 668	. . . . 5
20	13, 16, 19	mpbi2and 921	. . . 4
21	20	simpld 459	. . 3
22	21	r19.21bi 2826	. 2
23	20	simprd 463	. . . 4
24	23	r19.21bi 2826	. . 3
25	24	impr 619	. 2
26	5, 11, 22, 25	eqsupd 7937	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  supcsup 7920

This theorem is referenced by:  infmsup  10546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-sup 7921