Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supiso Unicode version

Theorem supiso 7954
 Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1
supiso.2
supisoex.3
supiso.4
Assertion
Ref Expression
supiso
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem supiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supiso.4 . . 3
2 supiso.1 . . . 4
3 isoso 6244 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
51, 4mpbid 210 . 2
6 isof1o 6221 . . . 4
7 f1of 5821 . . . 4
82, 6, 73syl 20 . . 3
9 supisoex.3 . . . 4
101, 9supcl 7938 . . 3
118, 10ffvelrnd 6032 . 2
121, 9supub 7939 . . . . . 6
1312ralrimiv 2869 . . . . 5
141, 9suplub 7940 . . . . . . 7
1514expd 436 . . . . . 6
1615ralrimiv 2869 . . . . 5
17 supiso.2 . . . . . . 7
182, 17supisolem 7952 . . . . . 6
1910, 18mpdan 668 . . . . 5
2013, 16, 19mpbi2and 921 . . . 4
2120simpld 459 . . 3
2221r19.21bi 2826 . 2
2320simprd 463 . . . 4
2423r19.21bi 2826 . . 3
2524impr 619 . 2
265, 11, 22, 25eqsupd 7937 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  Isomwiso 5594  sup`csup 7920 This theorem is referenced by:  infmsup  10546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-sup 7921
 Copyright terms: Public domain W3C validator