Theorem supisolem 7952

Description: Lemma for supiso 7954. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1
supiso.2

Assertion

Ref	Expression
supisolem

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,,,   ,S,,,   ,,,,

Proof of Theorem supisolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supiso.1	. . 3
2		supiso.2	. . 3
3	1, 2	jca 532	. 2
4		simpll 753	. . . . . . . 8
5	4	adantr 465	. . . . . . 7
6		simplr 755	. . . . . . 7
7		simplr 755	. . . . . . . 8
8	7	sselda 3503	. . . . . . 7
9		isorel 6222	. . . . . . 7
10	5, 6, 8, 9	syl12anc 1226	. . . . . 6
11	10	notbid 294	. . . . 5
12	11	ralbidva 2893	. . . 4
13		isof1o 6221	. . . . . . 7
14	4, 13	syl 16	. . . . . 6
15		f1ofn 5822	. . . . . 6
16	14, 15	syl 16	. . . . 5
17		breq2 4456	. . . . . . 7
18	17	notbid 294	. . . . . 6
19	18	ralima 6152	. . . . 5
20	16, 7, 19	syl2anc 661	. . . 4
21	12, 20	bitr4d 256	. . 3
22	4	adantr 465	. . . . . . 7
23		simpr 461	. . . . . . 7
24		simplr 755	. . . . . . 7
25		isorel 6222	. . . . . . 7
26	22, 23, 24, 25	syl12anc 1226	. . . . . 6
27	22	adantr 465	. . . . . . . . 9
28		simplr 755	. . . . . . . . 9
29	7	adantr 465	. . . . . . . . . 10
30	29	sselda 3503	. . . . . . . . 9
31		isorel 6222	. . . . . . . . 9
32	27, 28, 30, 31	syl12anc 1226	. . . . . . . 8
33	32	rexbidva 2965	. . . . . . 7
34	16	adantr 465	. . . . . . . 8
35		breq2 4456	. . . . . . . . 9
36	35	rexima 6151	. . . . . . . 8
37	34, 29, 36	syl2anc 661	. . . . . . 7
38	33, 37	bitr4d 256	. . . . . 6
39	26, 38	imbi12d 320	. . . . 5
40	39	ralbidva 2893	. . . 4
41		f1ofo 5828	. . . . 5
42		breq1 4455	. . . . . . 7
43		breq1 4455	. . . . . . . 8
44	43	rexbidv 2968	. . . . . . 7
45	42, 44	imbi12d 320	. . . . . 6
46	45	cbvfo 6192	. . . . 5
47	14, 41, 46	3syl 20	. . . 4
48	40, 47	bitrd 253	. . 3
49	21, 48	anbi12d 710	. 2
50	3, 49	sylan 471	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  "cima 5007  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  supisoex  7953  supiso  7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602