MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suplem1pr Unicode version

Theorem suplem1pr 9451
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals is a positive real. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem1pr
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem suplem1pr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 9397 . . . . . . . . 9
21brel 5053 . . . . . . . 8
32simpld 459 . . . . . . 7
43ralimi 2850 . . . . . 6
5 dfss3 3493 . . . . . 6
64, 5sylibr 212 . . . . 5
76rexlimivw 2946 . . . 4
87adantl 466 . . 3
9 n0 3794 . . . . 5
10 ssel 3497 . . . . . . 7
11 prn0 9388 . . . . . . . . . 10
12 0pss 3864 . . . . . . . . . 10
1311, 12sylibr 212 . . . . . . . . 9
14 elssuni 4279 . . . . . . . . 9
15 psssstr 3609 . . . . . . . . 9
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . 8
1716expcom 435 . . . . . . 7
1810, 17sylcom 29 . . . . . 6
1918exlimdv 1724 . . . . 5
209, 19syl5bi 217 . . . 4
21 prpssnq 9389 . . . . . . 7
2221adantl 466 . . . . . 6
23 ltprord 9429 . . . . . . . . . 10
24 pssss 3598 . . . . . . . . . 10
2523, 24syl6bi 228 . . . . . . . . 9
262, 25mpcom 36 . . . . . . . 8
2726ralimi 2850 . . . . . . 7
28 unissb 4281 . . . . . . 7
2927, 28sylibr 212 . . . . . 6
30 sspsstr 3608 . . . . . . 7
3130expcom 435 . . . . . 6
3222, 29, 31syl2im 38 . . . . 5
3332rexlimdva 2949 . . . 4
3420, 33anim12d 563 . . 3
358, 34mpcom 36 . 2
36 prcdnq 9392 . . . . . . . . . . . . 13
3736ex 434 . . . . . . . . . . . 12
3837com3r 79 . . . . . . . . . . 11
3910, 38sylan9 657 . . . . . . . . . 10
4039reximdvai 2929 . . . . . . . . 9
41 eluni2 4253 . . . . . . . . 9
42 eluni2 4253 . . . . . . . . 9
4340, 41, 423imtr4g 270 . . . . . . . 8
4443ex 434 . . . . . . 7
4544com23 78 . . . . . 6
4645alrimdv 1721 . . . . 5
47 eluni 4252 . . . . . 6
48 prnmax 9394 . . . . . . . . . . . . 13
4948ex 434 . . . . . . . . . . . 12
5010, 49syl6 33 . . . . . . . . . . 11
5150com23 78 . . . . . . . . . 10
5251imp 429 . . . . . . . . 9
53 ssrexv 3564 . . . . . . . . . 10
5414, 53syl 16 . . . . . . . . 9
5552, 54sylcom 29 . . . . . . . 8
5655expimpd 603 . . . . . . 7
5756exlimdv 1724 . . . . . 6
5847, 57syl5bi 217 . . . . 5
5946, 58jcad 533 . . . 4
6059ralrimiv 2869 . . 3
618, 60syl 16 . 2
62 elnp 9386 . 2
6335, 61, 62sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452   cnq 9251   cltq 9257   cnp 9258   cltp 9262
This theorem is referenced by:  supexpr  9453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-om 6701  df-ni 9271  df-nq 9311  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-ltp 9384
  Copyright terms: Public domain W3C validator